1.6. Соответствия

Г = <G, X, Y>

Соответствие - тройка, такая, что G  X * Y - подмножество произведения второго компонента на третий.

Первый компонент (G) - график.

Второй компонент (X) - область отправления (определения).

Третий компонент (Y) - область прибытия (значений).

Соответствие называется полным, если G = X x Y .

Свойства соответствий

1. Соответствие называется функциональным, если его график функционален.

2. Соответствие называется инъективным, если его график инъективен.

3. Соответствие называется всюдуопределенным, если проекция графика на первую ось совпадает с областью отправления. пр.G₁ = X.

4. Соответствие называется сюръективным, если проекция графика на вторую ось совпадает с областью прибытия пр.G₂ = Y

5. Соответствие называется биективным (взаимно-однозначным), если оно функционально, инъективно, всюдуопределено и сюръективно.

Пример : Соответствие «студенты сдавали экзамен». (Трифонов не пришел).

И П С Т

X

G

Y

2 3 4 5

X = {Иванов, Петров, Сидоров, Трифонов} – множество студентов.

Y = {2, 3, 4, 5} – множество возможных оценок.

G = {<И, 5>, <П, 2>, <С, 5>} – результаты сдачи экзамена.

Соответствие функционально, неинъективно, невсюдуопределено, несюръективно, небиективно.

Пример : Соответствие «покупателей и купленных товаров».

X

G

Y

Типовая ситуация для такого соответствия: нефункционально, инъективно, невсюду определено, несюръективно, небиективно.

1.7. Отношения

Отношение, это пара

 = <R, M>

R  M * M = M²

Первый компонент ( R ) - график отношения.

Второй компонент ( M ) - множество, на котором отношение определено.

Более традиционная запись отношения x  y для x  M, y  M .

Свойства отношений

1. Рефлексивность: x  x ( например, x = x)

2. Антирефлексивность:  x  x (например, x < x)

3. Симметричность: x  y  y  x (например, x = y  y = x)

4. Антисимметричность: x  y , x  y  y  x (например, x y ; y  x  y  x)

4. Асимметричность: xy  y  x (например, x < y  y < x)

5. Связность ( полнота ): x  y  x  y или y  x (например, для любых двух различных натуральных чисел: либо x < y, либо y < x)

6. Транзитивность: x  y , y  z  x  z (например, x = y и у = z  y = z)

7. Антитранзитивность: x  y, y  z x  z (например, отношение перпендикулярности прямых).

1.7.1 Отношение эквивалентности

Отношение, обладающее одновременно свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, называется отношением эквивалентности.

~ - символ отношения эквивалентности.

[x] - множество элементов, эквивалентных x (класс эквивалентности х).

Свойства отношения эквивалентности:

1. x ~ х

2. Если x ~ y  [x] = [y]

Доказательство 1-го свойства: Следует из свойства рефлексивности.

Доказательство 2-го свойства: 1. z  [x]  z ~ x, x ~ y  z ~ y  z  [y], т.е. [x]  [y]

2. z  [y]  z ~ y, x ~ y  z ~ x  z  [x], т.е. [y]  [x].

Следовательно [x] = [y]

P(M) - множество-степень множества М есть множество всех подмножеств множества М.

Пример:

М={1, 2, 3}

P(M)={, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

П(M) - покрытием множества М будем называть любое подмножество множества Р(М), такое, что объединение входящих в него элементов совпадает с М.

П(M) = {{1,2}, {2}, {2,3}}

так как {1,2}  {2}  {2,3} = {1, 2 ,3}

R(M) - разбиением множества М называется такое покрытие множества М, в котором элементы не пересекаются.

Пример разбиения: R = {{1,2}, {3}}

Свойства :

1. Каждый элемент исходного множества М принадлежит какому-либо из множеств, составляющих разбиение.

2. Каждый элемент исходного множества принадлежит строго одному из множеств, составляющих разбиение.

Теорема: Отношение эквивалентности разбивает множество, на котором оно определено на классы эквивалентности.

Доказательство: 1. Очевидно. х ~ [x]

2. Предположим, что z  [x] и z  [y]. Тогда из x ~ y и z ~ y следует x ~ y и по второму свойству отношения эквивалентности [x] = [y].