1.2. Операции над множествами

1. Объединение множеств A и B

A  B = { x | x  A или x  B } (или - неисключающее)

2. Пересечение множеств A и B

A  B = { x | x  A и x  B }

3. Разность множеств A и B

A \ B = { x | x  A и x  B }

4. Симметрическая разность множеств A и B

A  B = { x | (xA и xB) или (xA и xB)}=( A \ B )  ( B \ A )

5.Дополнение множества A

A= { x | xA }

Пример.

Пусть А = {1, 2, 3} и B = {3,4}, тогда

A  B = {1, 2, 3, 4}

A  B = {3}

A \ B = {1, 2}

A  B = {1, 2, 4}

А= множество чисел кроме 1, 2, 3.

1.3. Диаграммы Эйлера - Венна

Диаграммы Эйлера-Венна позволяют представить множества, как множества точек на плоскости, оганиченные замкнутыми кривыми круглой или овальной формы. Прямоугольная рамка ограничивает универсум. Обычно, если не требуется иное, рисуют так называемый общий случай: когда каждое из множеств имеет свои собственные точки и точки, общие с другими множествами.

U

II

III

I

A

B

AB – зоны I, II, III.

AB – зона III.

A\B - зона I.

A - все, кроме круга А.

AB - зоны I, III.

Диаграмма для общего случая c тремя множествами будет иметь вид:

U

A B

C

Построение диаграммы Эйлера-Венна для общего случая с четырьмя и более множествами можно предложить для самостоятельных развлечений.

1.4. Алгебра множеств

Операции над множествами дают в результате новые множества.

Для операций справедлив ряд законов. Приведем наиболее часто используемые.

Для упрощения записи, уменьшения числа скобок, определяющих последовательность операций, можно использовать соглашение о "силе" операций (в порядке убывания): дополнение, пересечение, объединение.

Остальные операции можно выразить через эти три.

Законы:

1. Коммутативный:

A  B = B  A A  B = B  A

2. Ассоциативный:

A  (B  C) = (A  B)  C = A  B C A (B  C) = (A  B)  C = A  B  С

3. Дистрибутивный:

A  (B  С)= (A  B)  (A  C) A  (B  С) = (A  B)  (A  C)

4. Поглощения:

A  (A  B) = A A  (A  B) = A

5. Идемпотентности:

A  A = A A  A = A

6. Исключенного третьего: Противоречия:

A A = U A  A = 

7. A   = A A   = 

8. A  U = U A  U = A

9. Де Моргана:

____ ___

A  B = A  B A  B = A  B

10.  = U U = 

11. Двойного отрицания: A = A

12. A \ B =A  B

13. A  B =A  B  A  B

Пример доказательства варианта дистрибутивного закона:

A  (B  С) = (A  B)  (A  C)

I. Докажем, что левая часть включена в правую:

A  (B  C)  (A  B)  (A  C)

Пусть х  А  (В  С), тогда у х есть две возможности

1. х  A . Тогда х  A  B и х  A  C  х  (A  B)  (A  C).

2. х  B  C. Тогда х  B и х  C  х  A  B и х  A  C,

то есть х  (A  B)  (A  C).

II. Докажем, что правая часть включена в левую:

(A  B)  (A  C)  A  B  C.

Пусть х  A  B и х  A  C. Тогда возможны два варианта:

1. х  A  х  A  B  C

2. х  B и х  C  х  B  C  х  A  B  C.

То есть левое и правое множества равны.