Введение

Специальная математика – это некоторые разделы современной математики. Речь идет о математическом аппарате, который помогает расширить возможности математического описания или, выражаясь изящнее – математического моделирования, сложных систем. Далеко не все задачи, которые возникают в сложных системах, включающих человека, можно свести к задачам механики или математического анализа, традиционно называемого в технических вузах «высшей математикой».

Самостоятельное значение имеют математические проблемы теоретического и практического программирования.

Последние сто лет интенсивно развивались разделы математики, многие из которых часто объединяют общим названием дискретная математика, хотя деление на дискретную и непрерывную математику более чем условно. (Возьмите множество всех подмножеств эталонного дискретного множества – множества натуральных чисел, и вы получите мощность базового для традиционного математического анализа множества - множества действительных чисел).

Так что чисто формально нет непреодолимой пропасти и антагонизма между дискретной и непрерывной математикой. Всякий инструмент хорош для решения задач, на которые он ориентирован. Вопрос удобства, эффективности использования и адекватности того или иного математического аппарата вообще до определенной степени вопрос субъективный.

А что касается классификации, то относить ли, например, теорию графов к дискретной математике или к топологии – тоже вопрос. Отнесение к дискретной математике теории групп еще более условно.

Задача данного курса состоит в выработке навыков формализации физических сущностей с помощью различных «диалектов» современного математического языка. И наоборот, интерпретации полученных математических результатов.

Содержательный аспект обычно предшествует формализации и имеет для нас значение при осмыслении результатов математических манипуляций.

Так что акцент в большей степени сделан на понятийной, а не вычислительной стороне ряда разделов математики.

1. Теория множеств

1.1 Понятие множества

Множество - фундаментальное неопределяемое понятие. Множество понимается как объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью.

Теорию множеств можно подразделить на аксиоматическую и интуитивную (наивную).

Аксиоматическая теория исходит из того, что множество определяется совокупностью аксиом, записанных обычно на языке логики (предикатов). Интуитивная теория множеств апеллирует к интуиции, к базовому понятию принадлежности элемента множеству, то есть к интуитивной понятности отношения принадлежности  ( а  A - элемент а принадлежит множеству A).

Для интуитивного понятия множества существенны два момента, следующие из "определения":

1. Различимость элементов.

2. Возможность мыслить их как нечто единое.

Студенты образуют группу. Деревья составляют лес.

Целые числа составляют множество целых чисел.

Жители Марса - множество марсиан.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается  или . Обычно именно фигурные скобки используются для выделения множества (отсутствие элементов в скобках и говорит о том, что это пустое множество).

Множество, заведомо содержащее все рассматриваемые элементы, называется универсальным или универсумом - U.

Было бы опрометчиво говорить просто, что U содержит все элементы. К сожалению, имеют место так называемые парадоксы теории множеств. Самый знаменитый – парадокс Рассела, который показывает невозможность построить множество всех подмножеств, не содержащих себя в качестве элемента. Более прост в понимании парадокс брадобрея, которому приказано брить в тридевятом государстве всех тех и только тех, кто не бреется сам. Перед брадобреем неразрешимый вопрос:

Включать ли самого себя в множество тех, кого он обязан брить?!

Способы задания множеств:

A = {a, b, c, d} - задание множества явным перечислением элементов.

Например, гвардия = {Иванов, Петров, Сидоров}

B = {x | С(x)} - задание множества (характеристическим) свойством С(x).

Например, студенчество = {x | x - студент} - множество таких х, что х - студент.

Отношение включения  . Множество А включено в множество В (А  В) или А есть подмножество множества В, если из х  А следует х  В.

Например, студенческая группа  студенты данной специальности

Отношение строгого включения : Если A  B и A  B , то можно написать

A  B.

Например:   множество отличников

Кстати, на что намекает это отношение?

Свойства отношения включения:

1. Рефлексивность: A  A

2. Принцип объемности: A  B и B  A следует B = A (на основе этого принципа и доказывается равенство двух множеств).

3. Транзитивность: A  B и B  C следует A  C

Полезные соотношения:

{ }=  ; 1  { 1 } ; {{ 1 }}  { 1 } ; { а, в }  { в, а }