2.1.8. Функциональная полнота

Совокупность логических операций функциолнально полна, когда какие-либо из операпций совокупности обладают нижеперечисленными свойствами:

1. Несохранение 0 ( f(0, 0, ..., 0) = 1)

2. Несохранение 1 ( а(1, 1, ..., 1) = 0)

3. Не самодвойственность.

f(X₁,X₂,...,X_n)  f(X₁,X₂,...,X_n)

4. Немонотонность.

₁₂..._n ₁₂..._n

f(₁,₂,...,_n)<f(₁,₂,...,_n)

5. Нелинейность.

Функция называется нелинейной, если она не может быть представлена в виде :

a₀  a₁x₁  a₂x₂ ...,

где a_i = 1 или 0

Примеры линейных функций:

1 X = X

a₀ = 1

a₁ = 1

a_2.. = 0

X  Y - неравнозначность.

a₀ = 0

a₁ = 1

a₂ = 1

a_3.. = 0

Функционально полные наборы создают, например:

 и &;  и ;  и . Операции штрих Шеффера и стрелка Пира  каждая в отдельности образуют функционально полный набор.

2.2. Логика предикатов

Предикат - логическая функция, аргументы которой могут принимать значения из некоторой предметной функции, а сама функция может принимать значение истина либо ложь.

Если переменная одна, то предикат одноместный, две - двухместный и т.д.

Нульместный предикат, то есть предикат, не содержащий переменных - высказывание.

Операции:

Из элементарных (атомарных) предикатов с помощью логических операций можно получить сложные предикаты.

Здесь уместно сделать важное содержательное замечание:

Язык предикатов - наиболее приближенный к естественным языкам формальный математический (логический) язык.

В логике предикатов к операциям, имеющим место в логике высказываний, добавляются операции навешивания кванторов.

 - квантор общности. x P(x) - "для всех х - P(x)".

 - квантор существования. x P(x) - "есть такие х, что P(x)".

( ! или ₁ - существует и притом единственный).

Кванторы связывают соответствующие переменные. Связанные переменные можно воспринимать как константы, а несвязанные переменные - свободные переменные -

как собственно переменные.

Содержательные примеры предикатов :

R(x) - х любит кашу (одноместный предикат).

x R(x) - все любят кашу (нульместный предикат - высказывание).

x R(x) - некоторые (есть такие) х любят кашу.

L(x, y) - х любит y (двухместный предикат).

xy L(x, y) - Существует x, который любит всех y.

x ( C(x)  O(x) ) - Все студенты C(x) отличники O(x).

x ( C(x) & O(x) ) - Некоторые студенты C(x) отличники O(x).

Здесь есть повод поразмышлять об использовании операций  и & в двух последних высказываниях.

Для конечных областей можно операции навешивания кванторов выразить через конъюнкцию и дизъюнкцию:

Пусть х {a₁, a₂, ... , a_n}

x P(x) = P(a₁)  P(a₂)  ...  P(a_n).

x P(x) = P(a₁)  P(a₂)  ...  P(a_n).

2.2.1. Основные равносильности для предикатов

Для нас имеют смысл и значение только интерпретированныепредикаты. То есть предикаты, которым поставлены в соответствия некоторые отношения (одномерным предикатам – свойства). В результате, предикаты дают некоторые содержательные высказывания относительно объектов рассматриваемых областей. Если соответствующее высказывание истинно, то говорят, что оновыполняется в данной интерпретации.

Предикат называется общезначимым, если он истинен в любой интерпретации.

1. ¬x P(x)  x ¬P(x)

2.¬x P(x)  x ¬P(x)

3. ¬x ¬P(x)  x P(x)

4. ¬x ¬P(x)  x P(x)

5. x P(x)  Q ) (предикат Q не зависит от x.)

6. x P(x)  Q  x ( P(x)  Q )

7. x P(x)  Q  x ( P(x)  Q )

8. x P(x)  Q  x ( P(x)  Q )

9. x Q  Q

10. x Q  Q

11. xP(x)  xR(x)  x ( P(x)  R(x) )

12. xP(x)  xR(x)  x ( P(x)  R(x) )

13. xP(x)  xR(x)  x ( P(x)  R(x) )

14. x (P(x)  R(x) )  xP(x)  xR(x)

15. x P(x)  yP(y) (х, у - из одной предметной области)

16. x P(x)  y P(y)

17.xy P(x, y)  xy P(x, y)

18. xy P(x, y)  xy P(x, y)

19. xy P(x, y)  xy P(x, y)