2.6. Метод фазовой плоскости

2.6.1. Особенности нелинейных систем

Оптимальные системы автоматического управления – нелинейные. При этом они могут быть нелинейными по раз­ному. Если нелинейная зависимость допускает линеаризацию разложением в ряд Тейлора, то она называется несущест­венной. В противном случае нелинейность существенная.

Примером существенной нелинейности являются статиче­ские характеристики релейных элементов. Вот неко­торые: идеальное реле (рис. 2.1), реле с зоной нечувстви­тельности (рис. 2.2), реле с гистерезисом (рис. 2.3), реле с зоной нечувствительности и гистерезисом (рис. 2.4).

На всех рисунках выходная величина y является разрывной функцией от входной величины x.

По сравнению с линейными, нелинейные системы обла­дают рядом особенностей.

1. Нелинейная система может иметь несколько положе­ний равновесия. Что обнаруживается в реальных объектах. Ли­нейные уравнения позволяют рассчитать только одно со­стояние равновесия.

2. Решение линейного уравнения даёт формулу, по ко­торой переходной процесс завершается через бесконечно – большое время. В природе и технике такого нет. За счет не­линейности, реальные системы завершают процессы в ко­нечное время.

3. Если линейная система неустойчива, значения выход­ных переменных неограниченно растут. В нелинейной сис­теме рост переменных ограничивается.

4. Нелинейная система может совершать периодические движения без приложения внешней силы – автоколебания. В линейной системе автоколебания принципиально невозможны. То есть линейная теория не предсказывает такого явления.

5. В линейной системе выполняется принцип суперпози­ции: при сложении воздействий реакция равна сумме реакций на отдельные воздействия. Нелинейные системы этого не допускают: реакции получаются разные.

6. Устойчивость и характер переходного процесса в не­линейной системе зависит от величины входного воздейст­вия. Линейной системе безразлично, какой величины будет входное воздействие.

2.6.2. Изображение процессов на фазовой плоскости.

Одним из наиболее эффективных и наглядных методов качественного исследования нелинейных систем является построение фазовых портретов.

Если уравнения системы автоматического управления представлены в нормальной форме, то вектор состояния сис­темы однозначно определяет её состояние. В пространстве состояний каждому состоянию системы соответствует точка. Точка, соответствующая текущему состоянию называется изображающей точкой. При изменении состояния изобра­жающая точка описывает траекторию, которая называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, каждая для своих начальных условий, называется фазовым портретом.

В случае многомерной системы фазовая траектория об­разуется в многомерном фазовом пространстве.

Наглядно фазовую траекторию можно изобразить на плоскости.

Фазовая плоскость имеет две координаты. По абсциссе откладывают фазовую переменную, по ординате – её произ­водную, фазовую скорость. Эти координаты однозначно определяют состояние системы второго порядка.

Метод анализа и синтеза системы автоматического управления, основанный на построении фазового портрета, называется методом фазовой плоскости.

Фазовые траектории на плоскости служат для анализа дифференциального уравнения второго порядка вида:

Дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему уравнений состояния второго порядка. В общем виде она имеет вид:

,

(2.18)

Функции и в общем случае нелинейные.

Разделим второе уравнение на первое (имея ввиду, что ):

. (2.19)

Получили общего вида дифференциальное уравнение фазовых тра­екторий. Оно непосредственно связывает фазовые коорди­наты. Проанализируем это уравнение.

Если одновременно и , то

, (2.20)

Уравнение (2.20) определяет особые точки фазового портрета. В особых точках фазовая скорость  это следует из уравнения (4.1). Значит, особые точки являются поло­жениями равновесия. Через каждую точку на плоскости про­ходит только одна траектория – через особую точку может проходить много траекторий.

Когда состояние системы изменяется, изображающая точка движется по некоторой траектории. Выясним, в каком на­правлении движется изображающая точка.

Рассмотрим траекторию на рис 2.5. В верхней полуплос­кости, Значит, координата возрастает. Изобра­жающая точка движется слева направо. В нижней по­луплоскости изображающая точка движется справа налево, так как , уменьшается. На оси абсцисс , из уравнения 2.19 следует, что . Значит, фазовые траекто­рии пересекают ось абсцисс под прямым углом.

По виду траектории можно судить об устойчивости системы. Траектория начинается в момент времени t = 0, когда изображающая точка М имеет начальные координаты, . В этот момент система начала переход из одного состоя­ния в другое. Если переходной процесс завершается установившемся состоянием, на фазовой плоскости изобра­жающая точка М из любого положения переместится в начало координат т.е., траектория закончится в начале коор­динат. Траектория, заканчивающееся в начале координат, свидетельствует об устойчивой системе, рис 2.6. Если изо­бражающая точка неограниченно удаляется от начала коор­динат, это свидетельствует о неустойчивой системе, рис 2.7.

В случае устойчивой системы фазовые траектории как бы притягиваются особой точкой – началом координат. Такая особая точка получила название “центр притяжения”. В слу­чае неустойчивой системы особая точка как бы отталкивает фазовую траекторию, т.е. это будет центр отталкивания.

Для линейных систем существует только один центр притяжения или отталкивания – начало координат. Нелинейные системы могут иметь несколько таких центров.

Пример 4.1. Линеаризовать систему (2.18.)

в точке , .

Для этого надо разложить правые части в ряд Тейлора:

, т.к. (начало координат). Частные производные в фиксированных точках есть коэффициенты:

Система линейных уравнений состояния получает вид: