В.Н. Подымов
ЛЕКЦИИ ПО
ОПТИМАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Учебное пособие
Издание 3-е, исправленное.
Казань, 2012 г.
УДК 621.398
Лекции по оптимальным системам автоматического управления. Учебное пособие. В.Н. Подымов. – Казань, КГЭУ, 2010. – 82 с.
Содержание
Общие сведения…………………………………………….… 4
1.1. Основные понятия и определения ……………………... 4
1.2. Управление объектом …………………………………. 6
1.3. Классификация оптимальных систем управления..…… 9
2. Математическое описание …………………………………. 12
2.1. Переменные состояния ..………………………………... 12
2.2. Представление нормальной системы уравнений
в матричной форме ………………………………………. 14
2.3. Характеристическое уравнение
в матричной форме ………………………………………. 17
2.4. Матричная передаточная функция ………………. 18
2.5. Решение неоднородного матричного
уравнения …………………………………………………... 21
2.6. Метод фазовой плоскости ………………………….... 25
2.6.1. Особенности нелинейных систем ……….… 25
2.6.2. Изображение процессов на фазовой
плоскости ……………………………………...…....... 27
2.7. Фазовые портреты линейной системы ……………….. 31
2.8. Фазовые портреты нелинейной системы …………. 36
2.9. Пример определения особых точек
фазового портрета нелинейной системы ……………….. 39
2.10. Управление в фазовом пространстве ……………….. 43
3. Оптимальные системы ……………………………………….. 51
3.1. Статическая оптимизация …………………………… 51
3.2. Динамическая оптимизация …………………………… 58
3.3. Функционал и его вариация …………………………… 58
3.4. Уравнение Эйлера ………………………………………. 62
3.5. Задачи вариационного исчисления ……………….. 66
3.6. Принцип максимума …………………………………. 70
3.7. Оптимальное по быстродействию управление на принципе максимума ……………………............................................... 73
1. Общие сведения.
1.1. Основные понятия и определения.
На рис. 1.1. показана общая схема систем автоматического управления. В систему входит объект управления ОУ, управляющее устройство УУ (регулятор) и программатор П (задающее устройство).
Рис. 1.1 Общая схема САУ
На программатор поступает необходимая для его работы внешняя информация, команды. Программатор выдает команду υ(t) управляющему устройству. Управляющее устройство вырабатывает управляющий сигнал u(t) − «инструкцию» о том, какой должна быть выходная величина y(t) объекта управления.
На объект управления действует возмущения z(t). Они подразделяются на полезные, для преодоления которых создается САУ и которые называются «нагрузка», и на вредные, мешающие управлению, их называют «помехи».
Если УУ получает информацию об исполнении ОУ управляющей команды и на этой основе формирует управление u(t), такая система называется замкнутой. Канал связи от ОУ к УУ называется обратной связью.
Если УУ не получает информацию от ОУ, такая система называется разомкнутой.
Для непрерывной коррекции программы управления в программатор тоже поступает информация о величинах u(t) и z(t).
Объекты управления могут быть одномерными и многомерными. У одномерных ОУ одна входная величина (управляющее воздействие u(t) ) и одна выходная величина y(t) (управляемая). У многомерных объектов управления m управляющих воздействий (u1, u2, u3, …, um) и n управляемых величин (y1, y2, y3, …, yn). Возможны r возмущающих воздействий (z1, z2, z3, …, zr).
В системах стабилизации, программного управления, следящих программатор вырабатывает постоянное воздействие или функцию времени. Управление посредством функции от времени называют «программное управление».
В системах самонаведения, управления автономными подвижными объектами программатор определяет траекторию движения на основе обратной связи. Управление с обратной связью осуществляется посредством функции от фазовых координат. (О них - далее).
Системы с оптимальным программатором называют оптимальными по режиму управления.
Системы с оптимальными управляющими устройствами называют оптимальными по переходному режиму.
И те, и другие объединяются названием «оптимальные системы управления» (ОСУ).
1.2. Переменные в управлениях осу
Одномерный объект управления (рис. 1.2) описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида
где u(t) – воздействие, y(t) – управляемая величина. Преобразованием Лапласа получают другие математические модели: передаточные функции и частотные характеристики.
Рис. 1.2. Схема Рис. 1.3. Схема
одномерного ОУ. многомерного ОУ.
Многомерный объект управления (рис. 1.3) описывается системой ДУ, векторно-матричными уравнениями.
Переменные, которые характеризуют объект управления, записывают в векторной форме:
управляющий вектор u = (u1, u2,…um) ,
управляемый вектор y = (y1, y2,…yn) ,
вектор возмущений z = (z1, z2,…zr) .
Каждая группа переменных принадлежит своему множеству: u Rm, y Rn, z Rr .
Таким образом, многомерная система описывается набором n + m + r координат.
Многомерный вектор можно записать как матрицу – столбец:
UT = [u1,…,um], YT = [y1,…,yn], ZT = [z1,…,zr].
Как в одномерной САУ, управляющее устройство многомерной системы предназначено для того, чтобы вырабатывать управление, но теперь это векторная величина: u = (u1 , u2 , …um). Если управляющие воздействия зависят от времени ui(t) или от внешних координат, вектор u(t) называют алгоритмом управления.