Свободное движение.

Свободное движение означает отсутствие управления (u(t) = 0) и ненулевые начальные условия x₁(0) =  , x₂(0) = .

Из dx₂/dt = 0 заключаем: . Поскольку , . Со временем x₁ увеличивается, если и уменьшается, если . Величина x₂ остается посто­янной; либо , либо . При разных величинах получа­ется семейство прямых.

Фазовый портрет показан на рис. 2.26

При β > 0 изображающая точка движется вправо, при β <0 – влево.

Состояние равновесия.

Состояние равновесия означает, что производные равны нулю:

,

.

x₂ = 0 есть уравнение оси абсцисс. dx₁ = 0, x₁ = α – точка на оси абсцисс. Для всех возможных α ось абсцисс является множеством точек состояния равновесия.

Далее поставим задачу: придавая управляющей вели­чине фиксированные значения и , найти соответствую­щие фазовые портреты.

Фазовый портрет при положительном управлении.

Пусть и заданы начальные условия , . Составим уравнение фазовых траекторий из системы (2.25):

. (2.26)

После интегрирования получаем:

Уравнение (2.27) даёт фазовый портрет для разных значе­ний  С₁, рис (2.27).

Для заданных начальных условий

Начальные условия выделяют только одну траекторию, начало которой есть изображающая точка М(α, β).

Траектории являются параболами с вершинами, обращен­ными влево. Их положение зависит от постоянной интегрирования C₁, т.е. от начальных условий , и от величины управляющего воздействия .

При положительных x₂>0 изображающая точка М(x₁ x₂) движется слева – направо. При отрицательных x₂<0 изобра­жающая точка движется справа – налево. Постоянная интег­рирования C₁ равна отрезку, отсекаемому параболой на оси абсцисс.

Через начало координат проходит только одна пара­бола, для неё C₁ = 0.

В системе нет положения равновесия. В положении равно­весия , , но (заданной величине). Поэтому, если изображающая точка оказалась на нижней по­луветви параболы с С₁ = 0, то с помощью управления её можно привести в начало координат (состояние равновесия системы), где управление надо снять. Иначе изображающая точка начнёт уходить в бесконечность, (система удаляется от равновесия).

Фазовый портрет при отрицательном управлении.

Пусть u = -λ . Выполняя те же вычисления, будем иметь:

, . (2.29)

Траектории показаны на рис. 2.28.

Изображающая точка будет двигаться по параболе, по часовой стрелке. Положения равновесия нет.

Через начало координат проходит только одна парабола при С₂ = 0. Если начальная точка оказалась на верхней полуветви этой параболы, то уравнением её можно перевести в начало координат. В начале координат управление надо снять.

Изменение движения изображающей точки.

Обратим внимание на то, что в начало координат можно по­пасть только по траектории

, , (2.30)

или по траектории

, , (2.31)

Если изображающая точка в начальный момент оказалась вне этих траекторий, её надо сначала перевести на одну из этих траекторий, после чего довести до начала координат. Пусть, например, в начальный момент времени на фазовом портрете имеется изображающая точка М с координатами , , рис. 2.29.

Применяя управляющее воздействие , надо перевести изображающую точку на траекторию (2.20). В точке А сменить управление на и привести изображающую точку в начало координат. Аналогично, если начальные условия , (точка в четвёртом квадранте), то управлением надо перевести изображающую точку на траекторию (2.31) и, переключив управление на  , доставить её в начало коорди­нат. В момент достижения начала координат управле­ние снимается.

Переводить изображающую точку в начало координат управлением по траектории (2.31) можно только при условии x₂<0. По полупараболе в четвёртом квадранте, рис. 2.29. Вы­делить эту полупараболу можно с помощью символа sgn:

Обозначение говорит о том, что учитывается только знак x₂, но не величина. Если x₂ < 0, то sgn x₂ это минус, если x₂ < 0, то -sgn x₂ – это плюс. Отличие уравнения (2.32) от урав­нения (2.31) в том, что последнее описывает всю параболу, то­гда как первое выделяет её часть в четвертом квадранте.

При управлении в начало координат изображающую точку М приводит часть траектории, расположенная во вто­ром квадранте, для которой x₂ > 0. Эта часть траектории описы­вается уравнением:

Траектория (2.33) составляет половину параболы с уравне­нием (2.30).

Таким образом, движение изображающей точки М в на­чало координат можно описать одним уравнением:

. (2.34)

На рис. 2.30 выделена линия, соответствующая этому урав­нению.

х₂

С

х₁

В

А

Рис. 2.30. Линия переключения

При попадании изображающей точки на линию ВС, управление переключается на противоположное по знаку. По этой причине линию ВС называют линией переключения.

Литература

1. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. Многомерные, оптимальные и адаптивные системы. – М.: Физматлит, 2004. – 464 с.