5. Экспериментальные законы теплового излучения (законы Стефана-Больцмана и Вина)

Хотя только лишь термодинамические рассуждения не позволяют найти аналитический вид зависимости излучательной способности абсолютно чёрного тела от длины волны и температуры, они могут быть использованы для установления ряда общих законов теплового излучения. Таких законов три. Первый относится к интегральной светимости: интегральная энергетическая светимость абсолютно чёрного тела R возрастает пропорционально четвёртой степени абсолютной температуры тела T:

,

(2.14)

где σ=5,67·10^–8 Вт/(м²·К⁴) – постоянная Стефана-Больцмана, значение которой установлено экспериментально, а закон носит название закона Стефана-Больцмана. Так как интегральная светимость связана с испускательной способностью соотношением (2.7), то закон Стефана-Больцмана можно записать в виде

.

(2.15)

Следовательно, интегральная светимость может быть определена как площадь (рис.3) под кривой распределения излучательной способности.

Второй закон касается положения максимума кривых распределения (рис.3). По этому закону, носящему название закона смещения Вина, длина волны λ_max, на которую приходится максимум излучательной способности, меняется обратно пропорционально абсолютной температуры:

,

(2.16)

где b₁=2,9·10^–3 м·К – постоянная в законе смещения Вина.

Чем выше температура абсолютно чёрного тела, тем на более короткую длину волны приходится максимум излучательной способности. Из выражения (2.14) видно, что при практически достижимых температурах длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности абсолютно чёрного тела, лежит в инфракрасной области. При температуре в 3000 К максимум излучательной способности лежит ещё за пределами видимого спектра. Только при температуре в 5000 К максимум попадает в жёлто-зелёную часть спектра. При температурах выше 7200 К максимум попадает в ультрафиолетовую область.

Третий закон (второй закон Вина) указывает, что максимальная излучательная способность абсолютно чёрного тела (r_λ)_max возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры:

,

(2.17)

где b₂=1,3·10^–5 Вт/(м·К) – постоянная во втором законе Вина.

Рисунок 4 – Положение максимума испускательной способности

6. Распределение испускательной способности абсолютно чёрного тела по длинам волн (формулы Рэлея-Джинса и Планка)

Первую попытку найти аналитический вид функции (2.13), удовлетворяющей экспериментальным кривым, сделал московский физик В.А. Михельсон. Однако найденный им вид функции не удовлетворял термодинамическим законам, представленным в предыдущем разделе.

Рэлей и Джинс сделали попытку определить вид функции (2.13), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половинкам kT – одна половинка на электрическую энергию, вторая – на магнитную энергию волны. Напомним, что по классическим представлениям на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия, равна двум половинкам kT, где k – постоянная Больцмана, T – температура. Таким образом, не вдаваясь в детали, отметим, что ими была получена зависимость r_λ=f(λ,T), которую можно представить в виде:

.

(2.18)

Полученное выражение называется формулой Рэлея-Джинса и описывает зависимость испускательной способности абсолютно чёрного тела от температуры и длин волн электромагнитного излучения.

При теоретических исследованиях для характеристики спектрального состава равновесного теплового излучения удобнее пользоваться функцией частоты – f(ν,T). В экспериментальных работах удобнее пользоваться функцией длины волны – f(λ,T). Обе функции связаны друг с другом формулой

.

(2.19)

Следовательно, вспоминая формулу (1.4) предыдущей лекции, выражение (2.18) может быть представлено как

(2.20)

или с учётом также выражения (1.1) предыдущей лекции запишем

(2.21)

Полученные выражения (2.20) и (2.21) описывают зависимость испускательной способности абсолютно чёрного тела от температуры и частот электромагнитного излучения по теории Рэлея-Джинса.

Формула Рэлея-Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн, и резко расходится с опытом для малых длин волн (рис.5). При этом легко видеть, что она приводит к абсурдному результату: энергетическая светимость абсолютно чёрного тела оказывается равной бесконечности:

.

(2.22)

Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, находится в противоречии с опытом. Равновесие между излучением и излучающим телом устанавливаются при конечных значениях равновесной плотности энергии излучения, а, согласно (2.22), оно наступает только при бесконечно больших значениях.

Рисунок 5 – Экспериментальная кривая и кривая формулы Рэлея-Джинса испускательной способности абсолютно чёрного тела при T=298 К

Стоит также отметить, что кривая распределения светимости абсолютно чёрного тела по длинам волн, соответствующая формуле Рэлея-Джинса, даёт монотонное и быстрое возрастание с убыванием длины волны, а на самом деле данное распределение светимости по спектру имеет колоколообразный вид.

Вывод формулы Рэлея-Джинса с классической точки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с экспериментальными данными указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической физики и электродинамики.

В 1900 году Максу Планку удалось найти вид функции (2.13), в точности соответствующий результатам опытов. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии ε (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

(2.23)

или с учётом выражения (1.4) предыдущей лекции

,

(2.24)

где коэффициент пропорциональности h=6,63·10^–34 Дж·c получил впоследствии название постоянной Планка. Иногда данную величину называют квантом действия, поскольку в механике имеется величина, называемая действием, которая имеет ту же размерность.

Если энергия испускается порциями ε, то полная энергия излучения E должна быть кратна этой величине:

,

(2.25)

где n=1,2,3,… – число квантов электромагнитного излучения.

Не вдаваясь в детали вычислений, запишем зависимость r_λ=f(λ,T), полученную Планком, в виде

.

(2.26)

Полученное выражение может быть переписано, следуя логике получения формул (2.20) и (2.21), в виде

(2.27)

или

,

(2.28)

где ħ – постоянная Планка со штрихом:

.

(2.29)

Формула, полученная Планком, прекрасно удовлетворяет экспериментальным значениям светимости абсолютно чёрного тела во всей области спектра. Поэтому именно её можно считать решением задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом, и выраженной формулой (2.13).

Также следует отметить, что все экспериментальные законы теплового излучения, приведённые в предыдущем разделе, могут быть получены из формулы Планка. Так, например, для энергетической светимости абсолютно чёрного тела получаем

.

(2.30)

Введя вместо ω безразмерную величину x:

,

(2.31)

и делая подстановку

(2.32)

и

,

(2.33)

из выражения (2.30) получаем

.

(2.34)

Определённый интеграл в приведённом выражении может быть вычислен и равен π⁴/15. Следовательно,

.

(2.35)

Таким образом, мы получаем закон Стефана-Больцмана. Расчёт константы перед температурой в чётвертой степени даёт в точности σ – постоянную Стефана-Больцмана.

Выражения законов Вина предлагается получить из формулы Планка самостоятельно.