Индивидуальное задание

Номера задач к вариантам

Часть 1

Вариант	Номера задач, которые нужно решить
1	1.1	2.1	3.1	4.1	5.1	6.1	7.1	8.1	9.1	10.1
2	1.2	2.2	3.2	4.2	5.2	6.2	7.2	8.2	9.2	10.2
3	1.3	2.3	3.3	4.3	5.3	6.3	7.3	8.3	9.3	10.3
4	1.4	2.4	3.4	4.4	5.4	6.4	7.4	8.4	9.4	10.4
5	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5	6.5	7.5	8.5	9.5	10.5
6	1.6	2.6	3.6	4.6	5.6	6.6	7.6	8.6	9.6	10.6
7	1.7	2.7	3.7	4.7	5.7	6.7	7.7	8.7	9.7	10.7
8	1.2	2.3	3.4	4.5	5.6	6.7	7.1	8.2	9.3	10.4
9	1.1	2.2	3.3	4.4	5.5	6.6	7.7	8.1	9.2	10.3
10	1.3	2.4	3.5	4.6	5.7	6.1	7.2	8.3	9.4	10.5
11	1.4	2.5	3.6	4.7	5.1	6.2	7.3	8.4	9.5	10.6
12	1.5	2.6	3.7	4.1	5.2	6.3	7.4	8.5	9.6	10.7
13	1.6	2.7	3.1	4.2	5.3	6.4	7.5	8.6	9.7	10.1
14	1.7	2.1	3.2	4.3	5.4	6.5	7.6	8.7	9.1	10.2
15	1.1	2.3	3.6	4.7	5.5	6.3	7.2	8.1	9.7	10.6
16	1.5	2.4	3.3	4.5	5.7	6.6	7.7	8.5	9.3	10.1
17	1.2	2.7	3.5	4.3	5.1	6.1	7.2	8.4	9.7	10.4
18	1.3	2.5	3.7	4.3	5.5	6.7	7.1	8.3	9.5	10.7
19	1.4	2.3	3.5	4.7	5.6	6.3	7.6	8.7	9.5	10.3
20	1.5	2.7	3.6	4.5	5.4	6.7	7.6	8.4	9.7	10.6

Часть 2

Вариант	Номера задач, которые нужно решить
1	1.1	2.1	3.1	4.1	5.1
2	1.2	2.2	3.2	4.2	5.2
3	1.3	2.3	3.3	4.3	5.3
4	1.4	2.4	3.4	4.4	5.4
5	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5
6	1.6	2.6	3.6	4.6	5.6
7	1.7	2.7	3.7	4.7	5.7
8	1.2	2.3	3.4	4.5	5.6
9	1.1	2.2	3.3	4.4	5.5
10	1.3	2.4	3.5	4.6	5.7
11	1.4	2.5	3.6	4.7	5.1
12	1.5	2.6	3.7	4.1	5.2
13	1.6	2.7	3.1	4.2	5.3
14	1.7	2.1	3.2	4.3	5.4
15	1.1	2.3	3.6	4.7	5.5
16	1.5	2.4	3.3	4.5	5.7
17	1.2	2.7	3.5	4.3	5.1
18	1.3	2.5	3.7	4.3	5.5
19	1.4	2.3	3.5	4.7	5.6
20	1.5	2.7	3.6	4.5	5.4

Часть 1.

1. Найти значения функции в указанных точках

   1. , М₁(1, 2, –3), М₂(а,, –), М₃(1+t₁, 2, 2–t₃).

   2. U(х₁,х₂,х₃,х₄) =х₁+х₃– 3х₂х₄, М(1, 2, 2, –1), Р(, –,а,b), К(1–х₁, 2, 0, 2+х₄).

   3. U(t₁,t₂,t₃) = –3t₂²+t₁t₃, М(1, –1, –3), Р(а,b, –b), К(2, 3–t₂, 1+t₃).

   4. W(t,z,v) = 3t²+ 2z²–v, М(, 1, –2), Р(с, , ), К(0, 1+z, 2–v).

   5. , А(2, 3), В(,х), С(1 –t₁, 1+t₂).

   6. , А(2, 3), В(х,), С(1 +t₁, 2–t₂).

   7. , А(2, –1), В(,у), С(1 +р₁, 2–р₂).

2. Найти область определения функции. Сделать чертеж.

2.1. а) б)

2.2. а) б)

2.3. а) , б)

4. а) б).

5. а) б)

6. а) z=arcsin(x+2у) б)

7. а) z=arcсоs(x²+2у) б)

3. Некоторую деталь можно изготовить на двух станках. В таблице указаны количество единиц сырья (затраты) и количество деталей, изготовленных из этого сырья (производительности) для каждого из станков, а также обозначение функции, выражающей общую производительность станков. Требуется задать эту функцию аналитически и построить три линии уровня этой функции.

№ задачи	Затраты сырья (ед)		Производительность (деталей/ед. времени)		Обозначение общей производительности
	На 1 станке	На 2 станке
			1 станка	2 станка
3.1.	х1	х2	2х1+х12	х22	Z(x1, x2)
3.2	t1	t2	t12	t22 + 2t2	V(t1, t2)
3.3	р1	р2	р12	4р2+р22	Z(р1, р2)
3.4	у1	у2	4у12	у22 – 4	Р(у1, у2)
3.5	т1	т2	2т12	т22+ 1	Р(т1, т2)
3.6.	z1	z2	z1–4	z22 +2z2	V(z1, z2)
3.7.	п1	п2	п12 – 6	2п22–2	W(n1, n2)

4. Определить поверхности уровня заданной функции и построить одну из них.

1. U = 2х+ 3у +z.

2. U = х²+у²+z²

3. U = х²+у²+3z²

4. U = х²+у²–4z

5. U = –х+у²+z²

6. U = х²–у²+z², U >0.

7. U = х²+у²–4

5. а) Найти все частные производные первого и второго порядков заданной функции;

б) Найти точки в которых обе частные производные первого порядка от заданной функции равны нулю;

в) Показать, что заданная функция удовлетворяет указанному уравнению.

5.1. а) z= (х+ 2у)³; б)z= 1+ 6х–ху–у²; в),

2. а) ; б)и=х²+ 2у²– 3ху– 4х+ 2у; в)и=arctg(2x–t) , .

3. а) ; б)и= 2х²+у²– 3ху– 4у+ 2х; в)u=sin(x–at)+,

4. а) ; б)f = 3х₁²+3х₂²– 6х₁– 2х₂³; в),.

5. а) r=s²t+sin(2s+3t); б)f= 3х₁²–х₁³+ 4х₂+3х₂²; в),.

6. а) ; б)f=х₂²+х₁³–3х₁+4; в)z =ln(x²+y²+2y+1), .

7. а) , б)f=t₂³+t₁³–3t₁+4; в)z=ln(x²+y²+ 2x+1), .

6. Дана функция и точка из области определения этой функции. Найти:

а) градиент функции в данной точке;

б) производную функции в данной точке в указанном направлении;

в) указать физический смысл полученных величин.

6.1. z = 2x² + 3xy + y², М(1, 1),S = 4+3;

2. z = ln(x² + 3y²), М(1, 1) ,S = (3, 2);

3. z = x³ – 3x²y + 1, М(3, 1), S = –3+4;

4. z=arctgxy, А(1, 1) , в направлении найденного градиента;

5. и = xy²z², М(1, 2, 1) ,а = 4+3+k;

6. , А(3,), в направлении биссектрисы первого координатного угла.

7. , М(4,–3), в направлении биссектрисы второго координатного угла.

7. Линеаризовать данную функцию в окрестности точки М.

1. , М(1, 1, 1)

2. , М(1, 0, 0).

3. Z(x, t) = lg(x² +2t² +1),М(3,0).

4. , М(1, 1).

5. , М(2, 1).

6. , М(2,1).

7. , М(1,2).

8. Найти полный дифференциал и полное приращение заданной функции в точке А при заданных приращениях аргументов. Оценить погрешность замены полного приращения функции ее полным дифференциалом.

1. z = x²y, А(2, 3),х= 0,1,у= 0,2.

2. z = x² – хy, А(2, 2),х= 0,1,у= –0,1.

3. z = x² +2y², А(2,1) ,х= –0,1,у= 0,2.

4. z = x²(y –1), А(1, 1),х= 0,1,у= 0,2.

5. z = 2у(х +1), А(4, 3),х= 0,2,у= –0,1.

6. , А(2, 1), х= 0,4,у= 0,2.

7. , А(1,2), х= 0,2,у= 0,4.

9. Проверить, лежит ли точка М на заданной поверхности. Если да, найти уравнение касательной плоскости к данной поверхности в этой точке. Построить плоскость.

1. М(1, 1, 3), z = 1 + х²+у².

2. М(1, 1, 3), z = 2х²+у².

3. М(1,–2, 5), z = х²+у².

4. М(2, 2, 1), z = cos(х³–у³).

5. М(2, 2, 3), х²+у² –z² = –1.

6. М(2, 0, 2), z – y² += 2.

7. М(2, 1, 3), z – х²+у² = 0.

10. Указать физический смысл частных производных первого порядка описанной функции.

1. Объем газа Vесть функция его температурыtи давленияр:V=V(t,p).

2. Температура Т точки остывающего стержня есть функция расстояния хточки от начала координат и времениt: Т = Т(х,t)/

3. Температура Т воздуха в некоторой точке земной поверхности есть функция трех переменных: долготы точки, ее широтыи момента времениt, т.е. Т = Т(,,t).

4. Прогиб Uколеблющейся струны в точке М, находящейся на расстояниихот начала струны, в момент времениtявляется функцией этих величин:U=U(x,t).

5. Прогиб Uколеблющейся пластины в каждой ее точке М(х,у) является функцией координат точки и времениt:U=U(x,y,t).

6. Длина стороны атреугольника выражается через противоположный угол и длины других сторон по формуле, т.е. является функцией переменныхb,с,.

7. Площадь Sтреугольника есть функция двух его сторон аиbи периметра 2р: .