Часть 2

Вариант	Номера задач, которые нужно решить
1	1.1	2.1	3.1	4.1	5.1
2	1.2	2.2	3.2	4.2	5.2
3	1.3	2.3	3.3	4.3	5.3
4	1.4	2.4	3.4	4.4	5.4
5	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5
6	1.6	2.6	3.6	4.6	5.6
7	1.7	2.7	3.7	4.7	5.7
8	1.2	2.3	3.4	4.5	5.6
9	1.1	2.2	3.3	4.4	5.5
10	1.3	2.4	3.5	4.6	5.7
11	1.4	2.5	3.6	4.7	5.1
12	1.5	2.6	3.7	4.1	5.2
13	1.6	2.7	3.1	4.2	5.3
14	1.7	2.1	3.2	4.3	5.4
15	1.1	2.3	3.6	4.7	5.5
16	1.5	2.4	3.3	4.5	5.7
17	1.2	2.7	3.5	4.3	5.1
18	1.3	2.5	3.7	4.3	5.5
19	1.4	2.3	3.5	4.7	5.6
20	1.5	2.7	3.6	4.5	5.4

Часть 1.

1. Найти значения функции в указанных точках

   1. , М₁(1, 2, –3), М₂(а, , – ), М₃(1+t₁, 2, 2–t₃).

   2. U(х₁, х₂, х₃, х₄) = х₁+ х₃– 3х₂ х₄, М(1, 2, 2, –1), Р( , – , а, b), К(1–х₁, 2, 0, 2+х₄).

   3. U(t₁, t₂, t₃) = –3t₂² + t₁t₃, М(1, –1, –3), Р(а, b, –b), К(2, 3–t₂, 1+t₃).

   4. W(t, z, v) = 3t² + 2z² – v, М( , 1, –2), Р(с, , ), К(0, 1+z, 2– v).

   5. , А(2, 3), В( ,х), С(1 – t₁, 1+t₂).

   6. , А(2, 3), В(х, ), С(1 + t₁, 2–t₂).

   7. , А(2, –1), В( , у), С(1 + р₁, 2–р₂).

2. Найти область определения функции. Сделать чертеж.

2.1. а) б)

2.2. а) б)

2.3. а) , б)

4. а) б) .

5. а) б)

6. а) z = arcsin(x +2у) б)

7. а) z = arcсоs(x² +2у) б)

3. Некоторую деталь можно изготовить на двух станках. В таблице указаны количество единиц сырья (затраты) и количество деталей, изготовленных из этого сырья (производительности) для каждого из станков, а также обозначение функции, выражающей общую производительность станков. Требуется задать эту функцию аналитически и построить три линии уровня этой функции.

№ задачи	Затраты сырья (ед)		Производительность (деталей/ед. времени)		Обозначение общей производительности
	На 1 станке	На 2 станке
			1 станка	2 станка
3.1.	х1	х2	2х1+х12	х22	Z(x1, x2)
3.2	t1	t2	t12	t22 + 2t2	V(t1, t2)
3.3	р1	р2	р12	4р2+р22	Z(р1, р2)
3.4	у1	у2	4у12	у22 – 4	Р(у1, у2)
3.5	т1	т2	2т12	т22 + 1	Р(т1, т2)
3.6.	z1	z2	z1– 4	z22 + 2z2	V(z1, z2)
3.7.	п1	п2	п12 – 6	2п22–2	W(n1, n2)

4. Определить поверхности уровня заданной функции и построить одну из них.

1. U = 2х + 3у + z.

2. U = х² + у² + z²

3. U = х² + у² +3 z²

4. U = х² + у²– 4z

5. U = –х + у² + z²

6. U = х² – у² + z², U >0.

7. U = х² + у²– 4

5. а) Найти все частные производные первого и второго порядков заданной функции;

б) Найти точки в которых обе частные производные первого порядка от заданной функции равны нулю;

в) Показать, что заданная функция удовлетворяет указанному уравнению.

5.1. а) z = (х + 2у)³; б) z = 1+ 6х –ху –у²; в) ,

2. а) ; б) и = х² + 2у² – 3ху – 4х + 2у; в) и = arctg(2x – t) , .

3. а) ; б) и = 2х² + у² – 3ху – 4у + 2х; в) u = sin(x –at)+ ,

4. а) ; б) f = 3х₁² +3х₂² – 6х₁ – 2х₂³; в) , .

5. а) r = s²t +sin(2s +3t); б) f = 3х₁² – х₁³ + 4х₂ +3х₂²; в) , .

6. а) ; б) f = х₂² +х₁³ –3х₁+4 ; в) z = ln(x²+y²+2y+1), .

7. а) , б) f = t₂³ +t₁³ –3t₁+4 ; в) z = ln(x² + y²+ 2x+1), .

6. Дана функция и точка из области определения этой функции. Найти:

а) градиент функции в данной точке;

б) производную функции в данной точке в указанном направлении;

в) указать физический смысл полученных величин.

6.1. z = 2x² + 3xy + y², М(1, 1), S = 4 +3 ;

2. z = ln(x² + 3y²), М(1, 1) , S = (3, 2);

3. z = x³ – 3x²y + 1, М(3, 1), S = –3 +4 ;

4. z = arctgxy , А(1, 1) , в направлении найденного градиента;

5. и = xy²z², М(1, 2, 1) , а = 4 +3 +k;

6. , А(3, ), в направлении биссектрисы первого координатного угла.

7. , М(4,–3), в направлении биссектрисы второго координатного угла.

7. Линеаризовать данную функцию в окрестности точки М.

1. , М(1, 1, 1)

2. , М(1, 0, 0).

3. Z(x, t) = lg(x² +2t² +1), М(3,0).

4. , М(1, 1).

5. , М(2, 1).

6. , М(2,1).

7. , М(1,2).

8. Найти полный дифференциал и полное приращение заданной функции в точке А при заданных приращениях аргументов. Оценить погрешность замены полного приращения функции ее полным дифференциалом.

1. z = x²y, А(2, 3), х = 0,1, у = 0,2.

2. z = x² – хy, А(2, 2), х = 0,1, у = –0,1.

3. z = x² +2y², А(2,1) , х = –0,1, у = 0,2.

4. z = x²(y –1), А(1, 1), х = 0,1, у = 0,2.

5. z = 2у(х +1), А(4, 3), х = 0,2, у = –0,1.

6. , А(2, 1), х = 0,4, у = 0,2.

7. , А(1,2), х = 0,2, у = 0,4.

9. Проверить, лежит ли точка М на заданной поверхности. Если да, найти уравнение касательной плоскости к данной поверхности в этой точке. Построить плоскость.

1. М(1, 1, 3), z = 1 + х² + у².

2. М(1, 1, 3), z = 2х² + у².

3. М(1,–2, 5), z = х² + у².

4. М(2, 2, 1), z = cos(х³ – у³).

5. М(2, 2, 3), х² + у² – z² = –1.

6. М(2, 0, 2), z – y² + = 2.

7. М(2, 1, 3), z – х² + у² = 0.

10. Указать физический смысл частных производных первого порядка описанной функции.

1. Объем газа V есть функция его температуры t и давления р: V=V(t, p).

2. Температура Т точки остывающего стержня есть функция расстояния х точки от начала координат и времени t: Т = Т(х, t)/

3. Температура Т воздуха в некоторой точке земной поверхности есть функция трех переменных: долготы  точки, ее широты  и момента времени t, т.е. Т = Т(,, t).

4. Прогиб U колеблющейся струны в точке М, находящейся на расстоянии х от начала струны, в момент времени t является функцией этих величин: U = U(x, t).

5. Прогиб U колеблющейся пластины в каждой ее точке М(х, у) является функцией координат точки и времени t: U = U(x, y, t).

6. Длина стороны а треугольника выражается через противоположный угол и длины других сторон по формуле , т.е. является функцией переменных b, с, .

7. Площадь S треугольника есть функция двух его сторон а и b и периметра 2р: .