9. Математический аппарат
Формулы классической физики для связи между физическими величинами в квантовой теории следует рассматривать как формулы, связывающие операторы физических величин. Оператор (например, Â) – правило, посредством которого одной функции (например, f) сопоставляется другая функция (например, g):
Если в результате действия оператора на функцию возникает такая же функция, умноженная на константу, то она называется собственной функцией оператора, а константа – собственным значением:
Именно собственные значения и собственные функции являются решением операторных уравнений квантовой механики.
Совокупность собственных значений называется спектром физической величины. Если эта совокупность дискретна, то спектр называется дискретным, если непрерывна – непрерывным или сплошным.
Среднее значение любой физической величины A находится по формуле:
где Â – оператор физической величины.
10. Операторы квантовой механики
Оператор проекции положения частицы:
Оператор проекции импульса частицы на ось x:
Оператор квадрата импульса частицы:
Оператор кинетической энергии:
Оператор полной энергии (оператор Гамильтона или Гамильтониан)
Квантовая механика атомов и молекул
Решение уравнения Шредингера для водородоподобного атома.
1. Решение уравнения Шредингера для водородоподобного атома
Рассмотрим простейший атом, состоящий из электрона зарядом e, двигающегося в кулоновском поле ядра с зарядом Ze, где Z – порядковый номер элемента в Периодической системе Дмитрия Ивановича Менделеева. Такую систему называют водородоподобной. При Z=1 это атом водорода, при Z=2 – однократно ионизированный атом гелия – He+, при Z=2 – двукратно ионизированный атом лития – Li2+ и так далее.
Хотя из всех атомов Периодической системы только водород и его изотопы относятся к одноэлектронным атомам, квантово-механическое рассмотрение систем этого типа имеет фундаментальное значение. Это объясняется тем, что для атомов и ионов с одним электроном может быть точно решено уравнение Шредингера, а полученные решения служат основой для изучения всех более сложных задач о многоэлектронных атомах и даже молекулах.
Потенциальная энергия U(r) взаимодействия электрона с ядром в рассматриваемой системе равна
|
(8.1) |
где r – расстояние между электроном и ядром, которое в первом приближении будем считать точечным (здесь и далее). Тогда уравнение Шредингера (ХХХ) в этом случае принимает вид
|
(8.2) |
В представленном уравнении m должно быть приведённой массой ядра и электрона, но, учитывая факт, что электрон движется гораздо быстрее, можем говорить лишь о том, что m это его масса, не рассматривая массу ядра. Такое допущение в значительной степени упрощает поиск решения уравнения, а погрешность составляет порядка 0,05%.
Поскольку кулоновское поле ядра является центрально-симметричным, то есть зависит только от r, то решение уравнения (8.2) наиболее целесообразно проводить в сферической системе координат (связь декартовых координат x, y, z со сферическими координатами r, θ, представлена на рисунке 1). Для этого воспользуемся следующими правилами перевода между декартовой и сферической системами координат:
|
|
Здесь dv – элемент объёма, координаты сферической системы имеют следующие интервалы: 0≤r≤∞, 0≤θ≤π, 0≤≤2π.
Переход к сферическим координатам создаёт возможность разделения переменных в уравнении Шредингера, чего нельзя сделать при записи этого уравнения в декартовых координатах. В итоге оператор Лапласа принимает вид
|
(8.3) |
Заменяя в уравнении (8.2) оператор Лапласа полученным оператором (8.3), приходим к выводу, что полная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера, может быть разделена на три составляющих – три функции каждой сферической координаты:
|
(8.4) |
Мы не будем рассматривать полный ход решения, ограничимся лишь наиболее значимыми для нас моментами. Во-первых, первая составляющая – R(r) – является радиальной частью волновой функции и определяет расстояние электрона от ядра (в классической теории атома аналогом является радиус орбитали электрона), произведение двух других составляющих – (θ) и () – представляет угловую часть волновой функции (в классическом представлении атома аналогом может служить форма и направление орбитали электрона). Во-вторых, полная волновая функции зависит от трёх целочисленных параметром: n, l и m, которые называются, соответственно, главное, орбитальное и магнитное квантовое число. При этом радиальная часть волновой функции зависит от n и l, а угловая – от l и m. Главное квантовое число n принимает значения 1, 2, 3 и так далее, орбитальное квантовое число принимает значение от 0 до n–1 при заданном значении n, а магнитное квантовое число принимает значения от –l до l при заданном значении l. Например, если n=2, то l принимает значения 0 и 1. Если l=0, то m также равно 0. Если l=1, то m принимает значения –1, 0 и 1.
Содержание
Элементы геометрической оптики 1
Явление интерференции 7
Тепловое излучение 11
Корпускулярная природа света 19
Элементы квантовой механики 27
Квантовая механика атомов и молекул 35