Вопросы к экзамену по математическому анализу (2 семестр) Вопросы по теме «Неопределенный интеграл»

1. Определение первообразной для заданной функции, геометрический смысл.

Пусть функция   задана на некотором интервале   . Если найдётся такая функция   , что при всех   имеет место равенство то функция   называется первообразной для функции   

геометрический смысл - первообразная есть функция, которая имеет заданный закон f (х) изменения тангенса угла наклона касательной к графику функции F(x).

2. Приведите пример функции и трех ее первообразных. Проиллюстрируйте графически.

3x² – функция, x³+1, x³-8, x³+10 – первообразные

3. Среди функций f(x)= 4x³ – 3x²+5 , g(x)=x⁴ – x³ +5x –1 , h(x) = 6x(2x – 1) выбрать ту, для которой остальные являются производной и первообразной соответственно.

h(x) – производная, f(x) – функция, g(x) – интеграл(первообразная)

4. Теорема о первообразных для заданной функции.

Если f(x) на множестве Х имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, все первообразные содержаться в выражении F(x)+C

5. Определение неопределенного интеграла, геометрический смысл.

Вся совокупность всех первообразных для f(x) называется неопределенным интегралом.

Геометрический смысл есть семейство кривых, которое может быть получено паралельным переносом одной из них вдоль оси ОУ.

6. Достаточное условие интегрируемости функции.

Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0  (2.1).  Это условие означает, для любого ε>0 существует δ(ε)>0, что для любого разбиения τ мелкости меньше, чем δ выполняется неравенство: ∣Sτ−sτ∣<ε  (2.2). Т.к. sτ≤Sτ , то из (2.2) следует Sτ−sτ<ε .

7. Свойства неопределенного интеграла

Производная от интеграла=функции.

{F(x)=F(x)+C

8. Метод замены переменных в неопределенном интеграле

 Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:      а)  , где   – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае:  ;      б)  , где U – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:  .

9. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

{udv=uv-{vdu

10. Правило интегрирования рациональной дроби.

Для интегрирования рациональной функции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

11. Способы интегрирования иррациональных выражений

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей   используется подстановка  .  Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме  , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.