Вопросы по теме «Функции нескольких переменных»

1. Понятие функции нескольких переменных (привести примеры функции 2-х, 3-х, п переменных), ее область определения, изображение области определения для функции двух переменных. График функции 2-х переменных.

Если каждой точке M(x1,x2,…,xn) множества D евклидова пространства Rⁿ по некоторому закону f поставлено в соответствие единственное действительное число u, то говорят, что на множестве D задана функция нескольких переменных u=f(x1,x2,…xn) (часто используется u=f(M))

Множество D про этом называют областью определения функции f(М) и обозначают D(f), переменные x1,x2… называют независимыми переменными или аргументами функции, а переменную u – зависимой переменной

область определения функции z = f ( x, y ) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

Графиком функции u=f(x1,x2,…xn) называется множество точек (n+1)-мерного пространства с координатами (x1,x2,…xn,u), где (x1,x2,…xn) D(f), u=f(x1,x2,…xn)

Графиком функции z=f(x,y) называется множество точек пространства R³ с координатами (x,y,z), где (x,y)  D(f), z=f(x,y)

2. Линии и поверхности уровня, примеры. Для функции z = x² + y² –6x +4y + 25 запишите уравнение линии уровня, проходящей через точку Р(1, –4). Постройте ее.

Линией уровня функции z=f(x,y) называется множество точек области определения функции, в которых эта функция принимает одно и тоже значение С. Ее уравнение f(x,y)=С

Поверхностью уровня функции u=f(x,y,z), ) называется множество точек области определения функции, в которых эта функция принимает одно и тоже значение С. Ее уравнение f(x,y,z)=С

3. Определение частного приращения ФНП, частных производных 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков.

Дадим независимому переменному x приращение Δx=x-x₀, тогда функция и получит так называемое частное приращение по x:

Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M₀(x₀,y₀,z₀) к вызвавшему его приращению Δx при Δx   0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М₀ и обозначается одним из символов:

По определению,

Частные производные по y и по z определяются аналогично:

Производные f'_x, f'_y, f'_z называются ещё и частными производными первого порядка функции f(x,y,z), или первыми частными производными.

Так как частное приращение Δxf(M₀) получается лишь за счет приращения независимой переменной x при фиксированных значениях других независимых переменных, то частная производная f'_x(M₀) может рассматриваться как производная функции f(x,y₀,z₀) одного переменного x. Следовательно, чтобы найти производную по x, нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по x как от функции одного независимого переменного x.

Частными производными 2-го и 3-го порядков от функции называются частные производные от ее частных производных нижестоящего порядка

4. Физический смысл частных производных 1-го порядка.

С физической точки зрения, частная производная первого порядка по некой переменной есть скорость изменения этой функции относительно этой переменной при постоянных значениях остальных переменных. В случае функций 2-х и 3-х переменных это означает, что частные производные выражают скорость изменения функции по направлению координатных осей Ox,Oy,Oz

5. Температура точки стержня ОХ является функцией абсциссы х этой точки и времени t: =f(x,t). Каков физический смысл частных производных и ?

6. Записать площадь S прямоугольника как функцию его основания b и высоты h. Найти и , указать их смысл.

7. Понятие дифференцируемости ФНП, полного дифференциала, связь между ними. Частные дифференциалы, формула полного дифференциала 1-го , 2-го порядков.

Функция u=f(x1,x2,…xn) называется дифференцируемой в точке M(x1,x2,…,xn), если полное приращение

u=f(x1+x1,x2+x2,…,xn+xn)-f(x1,x2,…,xn) функции в некоторой окрестности этой точки может быть представлено в виде:

u=А1*x1+А2*x2+…+Аn*xn+o()

Где А1,А2.. – числа, не зависящие от x1,x2… ,

o() – бесконечно малая более высокого порядка, чем

Полным дифференциалом du(дифференциалом первого порядка) дифференцируемой функции u=f(x1,x2,…xn) называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений аргументов x1,x2… ,

du =А1*x1+А2*x2+…+Аn*xn

Если функция дифференцируема в точке (x1,x2,…xn), то она имеет в этой точке частные производные по каждой переменной, при этом

du=

в силу равенства для независимых переменных, получаем:

du=

слагаемые в правой части называют частными дифференциалами u по переменным xi(i=1,2…n) и обозначают Следовательно полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов du=