14. Условный экстремум, его геометрический смысл, способы его нахождения.

Экстремум функции z=f(x,y), найденный при условии, что переменные x и y удовлетворяют уравнению φ(x,y)=0, называется условным экстремумом. Уравнение φ(x,y)=0 нвзывается уравнением связи

Способы:

• Метод исключения

Из уравнения φ(x,y)=0 выразить одну из переменных как функцию другой и подставить это значение в основную функцию. Записать ее как функцию одной переменной, найти экстремум полученной функции одной переменной

• Метод множителей Лагранжа

• Составить функцию Лагранжа

- множитель Лагранжа

• Найти обычный экстремум этой функции

Необходимые условия:

Достаточные условия основаны на исследовании знака второго дифференциала функции при условии, что

, а . В этом слкчае

если , то в точке М0 функция имеет минимум

если , то в точке М0 функция имеет максимум

• Точки, в которых функция Лагранжа имеет безусловный экстремум, являются точками одноименного условного экстремума функции z=f(x,y),

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции z = f(x,y) при  (x,y) = 0 являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности z = f(x,y) цилиндрической поверхностью (x,y) = 0 .

15. Наибольшее и наименьшее значения фнп в замкнутой ограниченной области, условия их существования для фнп, графический и аналитический методы их нахождения.

Если функция z=f(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области Q, то она достигает в этой области своего наименьшего m и наибольшего M значений

M= и

При этом точки наибольшего и наименьшего значений нужно искать среди:

• Внутренних точек области Q, являющихся критическими точками функции

• Точек, лежащих на границе области и являющихся точками возможного условного экстремума, где уравнениями связи служат уравнения границы

• Точек пересечения соседних участков границы области (угловых точек)

Аналитический метод:

• Найти критические точки функции z=f(М), и отобрать из них те, которые лежат в области Q. Вычислить значения функции в этих точках

• На каждом участке границы области Q, используя его уравнение, представить функцию z=f(М), как функцию одной переменной. Найти критические точки найденной функции и вычислить ее значения в найденных точках

• Найти угловые точки области Q и вычислить значения функции в этих точках

• Сравнить все полученные значения и выбрать из нах наибольшее и наименьшее, указав, в каких точках эти значения достигаются

Графический метод:

• Построить область Q

• Построить серию линий уровня функции z=f(М), для различных значений С, и исследовать поведение линий уровня при возрастании и убывании С

• Найти точки области Q, через которые проходит линия уровня с самым большим и самым маленьким возможными значениями С

• Указать значения функций в этих точках

16. Метод наименьших квадратов, его суть и примеры применения (для линейной, квадратичной, показательной функций).

Пусть известно, что у есть функция аргумента х, но неизвестно аналитическое выражение этой функции. Но, по результатам наблюдения или эксперимента получено n значений функции у при соответствующих значениях х.

• Если вид эмпирической формулы неизвестен:

  • Подобрать по результатам анализа полученных экспериментальных данных. Например, если прослеживается обратно пропорциональная зависимость между экспериментальными значениями, то эмпирическую формулу ищут в виде . Или, если значения величины повторяются через определенный промежуток изменения величины х, то можно предположить, что у есть периодическая функция и эмпирическую формулу следует искать в виде

  • По расположению экспериментальных точек на координатной плоскости

• Если вид эмпирической формулы выбран, подбираем значения входящих в нее параметров(коэффициентов) так, чтобы выбранная формула наилучшим образом отражала существующую зависимость между переменными х и у.

Эту задачу можно решить методом наименьших квадратов