Вопросы к экзамену по математическому анализу (2 семестр)
Символом «*» отмечены вопросы второго уровня сложности, ответы на которые должны знать те, кто претендует на оценку 4 или 5.
Вопросы по теме «Неопределенный интеграл»
Определение первообразной для заданной функции, геометрический смысл.
Приведите пример функции и трех ее первообразных. Проиллюстрируйте графически.
Среди функций f(x)= 4x3 – 3x2+5 , g(x)=x4 – x3 +5x –1 , h(x) = 6x(2x – 1) выбрать ту, для которой остальные являются производной и первообразной соответственно.
Теорема о первообразных для заданной функции (*с доказательством).
Определение неопределенного интеграла, геометрический смысл.
Достаточное условие интегрируемости функции.
Свойства неопределенного интеграла (*с доказательством).
Метод замены переменных в неопределенном интеграле
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (*вывод формулы)
Правило интегрирования рациональной дроби.
Способы интегрирования иррациональных выражений
Интегрирование тригонометрических функций.
«Неберущиеся» интегралы.
Вопросы по теме «Определенный интеграл»
Определение интегральной суммы для заданной функции на данном отрезке, ее геометрическая интерпретация
Определение определенного интеграла, его геометрическая интерпретация.
Постройте фигуру, площадь которой численно равна
.*Задачи о площади криволинейной трапеции и о массе прямого тонкого стержня с переменной линейной плотностью, приводящие к понятию определенного интеграла (формулировка и решение).
Теорема существования определенного интеграла (достаточные условия интегрируемости функции), необходимое условие интегрируемости функции.
Свойства определенного интеграла (с доказательством): касающиеся отрезка интегрирования, свойств или характера функции, служащие для оценки интеграла; сравнить со свойствами неопределенного интеграла. Привести примеры применения этих свойств. Поясните геометрический смысл этих свойств.
Не вычисляя, сравните интегралы:
и
,
и
,
и 
.Определить знаки интегралов, не вычисляя их:
,
.*Оцените интеграл
Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле, сходство и отличие от соответствующих методов в неопределенном интеграле. *Можно ли интеграл
вычислить
с помощью подстановки х
= cost
?*Сформулируйте и докажите теорему о среднем в определенном интеграле.
*Сила переменного тока меняется по закону
,
гдеТ
– период. Найти среднее значение силы
тока за полупериод.*С помощь метода замены переменных в определенном интеграле доказать свойства интегралов от четных, нечетных, периодических функций, а также равенства
Теорема Барроу (с доказательством); вывод формулы Ньютона-Лейбница. Что выражает эта формула, для чего она служит. Всегда ли может быть использована?
Несобственные интегралы: с бесконечными пределами и от неограниченной функции – их определение, сходимость, признаки сходимости, геометрическая интерпретация.
Приложения определенного интеграла к решению задач о вычислении (*с выводом формул): площади криволинейной трапеции, криволинейного сектора, объема тел вращения, длины дуги, работы силы, давления на погруженную в жидкость пластину, моментов инерции тела, статических моментов и т .п.
Известно, что f(x) – непрерывная на [a, b] функция и
.
Следует ли отсюда, что f(x)0
на [a,
b]?
Ответ обоснуйте.Существуют ли площади неограниченных фигур, изображенных на рисунках ?
2
9
*Найти ошибку в вычислении:
,
но интеграл от строго положительной
функции не может равняться 0 !
*Вычислить:
Доказать: а)
,
б)
*Найти: а) Ф(х), если
,а
> 0; б)
и
,
если
,
0
;
в)
.
*Вычислить
,
*Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы
.*Оценить интеграл
.Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти
а)
,
* б)
.
*Исследовать сходимость интеграла
.*Вычислить
.*Найти площадь, ограниченную петлей кривой
,
.* Доказать, что длина дуги эллипса
равна
длине одной волны синусоиды
,
где
.*Фигура, ограниченная линией
и
ее асимптотой, вращается вокруг оси
ординат. Найти объем полученного тела.
*Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током
в течение периода Т.