Вопросы по теме «Функции нескольких переменных»

1. Понятие функции нескольких переменных (привести примеры функции 2-х, 3-х, п переменных), ее область определения, изображение области определения для функции двух переменных. График функции 2-х переменных.

2. Линии и поверхности уровня, примеры. Для функции z = x² + y² –6x +4y + 25 запишите уравнение линии уровня, проходящей через точку Р(1, –4). Постройте ее.

3. Определение частного приращения ФНП, частных производных 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков.

4. Физический смысл частных производных 1-го порядка.

5. Температура точки стержня ОХ является функцией абсциссы х этой точки и времени t: =f(x,t). Каков физический смысл частных производных и?

6. Записать площадь S прямоугольника как функцию его основания b и высоты h. Найти и, указать их смысл.

7. Понятие дифференцируемости ФНП, полного дифференциала, связь между ними. Частные дифференциалы, формула полного дифференциала 1-го , 2-го порядков.

8. Производная по направлению, градиент, их свойства и связь (с доказательством), физический смысл.

9. Линеаризация функции одной и нескольких переменных, ее геометрическая интерпретация, формула линеаризации.

10. Неявная функция 1-й, 2-х, 3-х и т.д. переменных. Дифференцирование неявных функций. Примеры для функций 1-й, 2-х, 3-х переменных.

11. Определение точек максимума и минимума ФНП, экстремумов ФНП.

12. Необходимое условие существования экстремума (*с доказательством), критические точки, их связь с точками экстремума.

13. Достаточное условие существования экстремума ФНП, частный случай функции 2-х переменных.

14. Условный экстремум, его геометрический смысл, способы его нахождения.

15. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой ограниченной области, условия их существования для ФНП, графический и аналитический методы их нахождения.

16. Метод наименьших квадратов, его суть и примеры применения (для линейной, квадратичной, показательной функций).

17. *Полагая, что (и) – дифференцируемая функция, показать, что , еслиz = (x² + y²).

18. *Найти df(1,1,1) и d²f(1,1,1), если .

19. *Для функции показать, что .

20. *Определить угол между градиентами функции и = х² + у² – z² в точках А(, 0, 0) и В(0, , 0).

21. *Найти функцию z = z(x, y), удовлетворяющую уравнению , еслиz(x, x²) = 1.

22. *Найти наибольшее и наименьшее значения функции и = х² – ху + у² в области, где |x| + |y|  1.

Вопросы по теме «Кратные и криволинейные интегралы»

1. Дать определение интеграла от функции f(Р) по области R^п. Сформулируйте свойства интеграла по области.

2. Дайте определение двойного интеграла.

3. Перечислите свойства двойного интеграла. Сравните их со свойствами определенного.

4. Каков геометрический смысл двойного интеграла ,?

5. Сформулируйте правило перехода в двойном интеграла к полярным координатам. Примените это правило для вычисления интеграла

6. Сформулируйте теорему о среднем для двойного интеграла. Найдите среднее значение функции и = 2х + у в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой х+у=3.

7. Сформулируйте и решите задачу о вычислении массы дуги LR³ с переменной линейной плотностью  = (х, у, z).

8. Дайте определение криволинейного интеграла по длине дуги.

9. Перечислите свойства криволинейного интеграла первого рода, укажите среди них отличные от свойств криволинейного интеграла второго рода.

10. Вместо точек поставьте знак (, ,  ): ^... . Ответ поясните с физической точки зрения.

11. Дайте определение криволинейного интеграла второго рода по дуге LR².

12. Каков физический смысл криволинейного интеграла второго рода.

13. Укажите свойства криволинейного интеграла второго рода, отличные от свойств криволинейного интеграла первого рода.

14. Сформулируйте условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Как объяснить факт независимости с физической точки зрения?

15. При каких условиях для криволинейного интеграла второго рода справедлива формула Ньютона-Лейбница? Запишите эту формулу.

16. В каком случае не будет зависеть от направления обхода контураL?

17. Запишите формулу Грина. Каков смысл этой формулы?

18. Не вычисляя интеграла, докажите, что .

19. Запишите формулу связи между криволинейными интегралами первого и второго рода

20. *Докажите формулу Дирихле ,а> 0. Пользуясь этой формулой, доказать равенство .

21. *Какой из интегралов больше : а) или, если f(x,y) >0 ; б) или ,?

22. *Найти среднее значение функции z = 12 - 2x - 3y в области 12 - 2х - 3у, х = 0 , у = 0

23. *Оценить интеграл, гдеD – круг х² + у²  2х.

24. *Вычислить или установить его расходимость.

25. *Вычислить, если

26. Вычислить

27. Найти длину дуги АВ пространственной кривой х = 3t, y = 3t², z = 2t³, А(0,0,0),В(3,3,2).