23. *Вычислить ,

24. *Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы .

25. *Оценить интеграл .

26. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти

а) , * б) .

27. *Исследовать сходимость интеграла .

28. *Вычислить .

29. *Найти площадь, ограниченную петлей кривой , .

30. * Доказать, что длина дуги эллипса равна длине одной волны синусоиды , где .

31. *Фигура, ограниченная линией и ее асимптотой, вращается вокруг оси ординат. Найти объем полученного тела.

32. *Найти количество тепла, выделяемое переменным синусоидальным током в течение периода Т.

Вопросы по теме «Функции нескольких переменных»

1. Понятие функции нескольких переменных (привести примеры функции 2-х, 3-х, п переменных), ее область определения, изображение области определения для функции двух переменных. График функции 2-х переменных.

2. Линии и поверхности уровня, примеры. Для функции z = x² + y² –6x +4y + 25 запишите уравнение линии уровня, проходящей через точку Р(1, –4). Постройте ее.

3. Определение частного приращения ФНП, частных производных 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков.

4. Физический смысл частных производных 1-го порядка.

5. Температура точки стержня ОХ является функцией абсциссы х этой точки и времени t: =f(x,t). Каков физический смысл частных производных и ?

6. Записать площадь S прямоугольника как функцию его основания b и высоты h. Найти и , указать их смысл.

7. Понятие дифференцируемости ФНП, полного дифференциала, связь между ними. Частные дифференциалы, формула полного дифференциала 1-го , 2-го порядков.

8. Производная по направлению, градиент, их свойства и связь (с доказательством), физический смысл.

9. Линеаризация функции одной и нескольких переменных, ее геометрическая интерпретация, формула линеаризации.

10. Неявная функция 1-й, 2-х, 3-х и т.д. переменных. Дифференцирование неявных функций. Примеры для функций 1-й, 2-х, 3-х переменных.

11. Определение точек максимума и минимума ФНП, экстремумов ФНП.

12. Необходимое условие существования экстремума (*с доказательством), критические точки, их связь с точками экстремума.

13. Достаточное условие существования экстремума ФНП, частный случай функции 2-х переменных.

14. Условный экстремум, его геометрический смысл, способы его нахождения.

15. Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой ограниченной области, условия их существования для ФНП, графический и аналитический методы их нахождения.

16. Метод наименьших квадратов, его суть и примеры применения (для линейной, квадратичной, показательной функций).

17. *Полагая, что (и) – дифференцируемая функция, показать, что , если z = (x² + y²).

18. *Найти df(1,1,1) и d²f(1,1,1), если .

19. *Для функции показать, что .

20. *Определить угол между градиентами функции и = х² + у² – z² в точках А(, 0, 0) и В(0, , 0).

21. *Найти функцию z = z(x, y), удовлетворяющую уравнению , если z(x, x²) = 1.

22. *Найти наибольшее и наименьшее значения функции и = х² – ху + у² в области, где |x| + |y|  1.

Вопросы по теме «Кратные и криволинейные интегралы»