Вопросы к экзамену по алгебре и геометрии (Iсеместр) Вопросы I уровня.

1. Матрицы, определители. Слу.

1. Что называется матрицей? Перечислите линейные операции над матрицами. Приведите примеры.

2. Что называется произведением матриц? Любые ли две матрицы можно перемножить?

3. Какая матрица называется обратной для данной матрицы А? Всегда ли существует обратная матрица?

4. Сформулируйте правило нахождения А^-1 .

5. Какая матрица называется симметрической, кососимметрической? Приведите примеры.

6. Дайте определение минора и алгебраического дополнения элемента матрицы А. Для любой ли матрицы определено это понятие? Приведите примеры.

7. Дайте определение определителя п -го порядка.

8. Какие вы знаете способы вычисления определителя? Приведите примеры.

9. Что называется решением системы линейных уравнений? Какая система называется совместной, несовместной, определенной, неопределенной?

10. Какие системы называются эквивалентными (равносильными)? Какие преобразования системы приводят ее к эквивалентной? Каким преобразованиям расширенной матрицы они соответствуют?

11. Какая система называется квадратной? Какие вы знаете методы решения таких систем? Можно ли их назвать методами исследования и решения системы?

12. Сформулируйте правило Крамера решения СЛУ. Любую ли систему можно решить методом Крамера?

13. В чем заключается матричный метод решения СЛУ? Для каких систем он применим?

14. В каком случае квадратная система линейных однородных уравнений имеет единственное решение? Какое это решение?

15. В каком случае квадратная система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение?

2. Линейные пространства (лп).

16. Дайте понятие линейного пространства. Приведите примеры.

17. Что называется линейной комбинацией системы векторов ЛП? Приведите пример.

18. Какая система векторов ЛП называется линейно зависимой? Приведите пример.

19. Какая система векторов ЛП называется линейно независимой? Приведите пример.

20. Какая система векторов ЛП называется максимально линейно независимой? Приведите пример.

21. Что называется базисом ЛП ? Приведите пример.

22. Приведите пример базиса в V², V³.

23. Дайте понятие п-мерного вектора, пространства Rⁿ (арифметического пространства).

24. Как определяются линейные операции над векторами Rⁿ? Приведите пример.

25. Приведите пример базиса в Rⁿ .

26. Сформулируйте теорему о разложении вектора ЛП по базису.

27. Дайте понятие координат вектора в заданном базисе. Приведите пример.

28. Дайте понятие минора матрицы. Для какой матрицы определено это понятие? Приведите пример.

29. Дайте определение ранга матрицы. Приведите пример. Перечислите свойства ранга.

30. Какие вы знаете способы нахождения ранга матрицы?

31. Сформулируйте Теорему Кронекера-Капелли.

32. Что значит исследовать СЛУ? Какие вы знаете способы исследования СЛУ? Приведите пример.

33. В каком случае и как неизвестные СЛУ разделяются на базисные и свободные?

34. В каком случае СЛУ имеет бесконечное множество решений. Приведите пример.

35. Дайте понятие общего решения СЛУ. В каком случае это понятие существует? Какое решение СЛУ называется частным решением?

36. В каком случае произвольная СЛУ имеет единственное решение? Приведите пример.