3. Векторная алгебра

16. Что называется геометрическим вектором? модулем вектора?

17. Дайте понятие проекции вектора на числовую ось.

18. Что такое орт вектора, орт числовой оси? Как выражается вектор через его орт и наоборот?

19. Какие векторы в V², V³ называются коллинеарными, ортогональными, компланарными? Приведите примеры.

20. Какие векторы образуют базис в V² , в V³?

21. Какой базис в V² , V³ называется ортонормированным? Приведите примеры.

22. Дайте понятие декартовой прямоугольной системы координат в V² , V³.

23. Чему равны координаты вектора в декартовой системе координат? Приведите пример.

24. Как относительно друг друга расположены векторы i,j,k? Каковы их координаты?

25. Сформулируйте и запишите условие коллинеарности двух векторов. Каким является это условие?

26. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.

27. Сформулируйте и запишите условие ортогональности двух векторов. Каким является это условие?

28. Как выражается скалярное произведение двух векторов через их координаты?

29. Дайте определение векторного произведения двух векторов. Приведите пример.

30. Как выражается через координаты векторов их векторное произведение?

31. Как можно вычислить площадь параллелограмма, треугольника, построенного на двух векторах, как на сторонах?

32. Дайте определение смешанного (векторно-скалярного) произведения векторов.

33. Каков геометрический смысл ?

34. Как выражается через координаты трех векторов их смешанное произведение?

35. Сформулируйте и запишите необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

4. Аналитическая геометрия

1. В чем заключается предмет аналитической геометрии? Что является основой аналитической геометрии? Почему?

2. Сформулируйте основные задачи аналитической геометрии. Приведите пример решения одной из них.

3. Дайте определение уравнения линии на плоскости, уравнения плоскости в пространстве. Приведите пример.

4. Какие вы знаете виды уравнений прямой на плоскости? От чего зависит вид уравнения? Выведите общее уравнение прямой на плоскости.

5. Каким характерным признаком в декартовой системе координат отличается уравнение прямой от уравнений других линий?

6. Как расположена прямая относительно системы координат, если в ее общем уравнении отсутствует: а) свободный член, б) одна из переменных, в) одна из переменных и свободный член? Ответ обоснуйте, приведите пример.

7. Выведите каноническое уравнение прямой на плоскости, канонические уравнения прямой в пространстве. Как перейти от канонических уравнений к общим?

8. Какие вы знаете уравнения плоскости в пространстве? Отчего зависит вид уравнения? Выведите общее уравнение плоскости. Каким характерным признаком отличается уравнение плоскости в декартовых координатах от уравнений других поверхностей?

9. Как расположена плоскость относительно системы координат, если в ее общем уравнении отсутствует: а) свободный член, б) одна из переменных, и) две переменных, г) одна из переменных и свободный член, д) две переменные и свободный член?

10. Запишите уравнение плоскости в отрезках. Каков геометрический смысл коэффициентов этого уравнения? Как перейти от общего уравнения плоскости к уравнению в отрезках и наоборот?

11. Сформулируйте условия параллельности, перпендикулярности, совпадения двух прямых на плоскости, двух плоскостей в пространстве, прямой и плоскости.

12. Какие вы знаете виды уравнений прямой в пространстве? От чего зависит вид уравнений?

13. Запишите общие уравнения прямой в пространстве. Как перейти от общих уравнений к каноническим?

14. Сформулируйте условия пересечения двух прямых в пространстве, заданных каноническими уравнениями.

15. Дайте определение эллипса, гиперболы. Запишите их канонические уравнения. При каком расположении этих кривых относительно системы координат получаются эти уравнения? Каков геометрический смысл и названия коэффициентов этих уравнений?

16. Дайте определение параболы, запишите каноническое уравнение. При каком расположении параболы относительно системы координат получается это уравнение? Каков геометрический смысл коэффициента этого уравнения?

17. Какие линии на плоскости называются кривыми второго порядка? Запишите общее уравнение кривых второго порядка. Назовите эти кривые.

18. Как по общему уравнению кривых второго порядка определить, какую именно кривую оно определяет? Сформулируйте алгоритм исследования уравнения вида:

а) Ах² +Су² + Dx + Ey + F = 0, б) Ах² + 2Bxy +Су² = 0? Приведите примеры