Но что же назвать риском всей игры?
Риск
можно измерять по разному, как размах
вариации R=
max
-
min,
как среднее линейное отклонение: М / - М /
Обычно
считают среднее
кавдратичное отклонение: r=
В
нашем случае риск:
2
35. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества. Графическое решение игр с матрицей 2*n и m*2 доминирование чистых стратегий.
Пусть,
например, A=
,
тогда: В матрице А 3-й столбец доминирует
2-й, поэтому исключим 2-й столбец из
рассмотрения: A’=
.
Проверим, нет
ли седловой точки, поскольку при ее
наличии решение игры сразу ясно. max
min aij = -2; min max aij= 1
i j j i
Видим, что седловой точки нет. Обозначим искомую оптимальную стратегию Первого (x, 1 – x). Обозначим j(x) – средний выигрыш Первого в расчете на партию, когда он использует стратегию (x,1–x), а Второй – j-ю чистую стратегию. Имеем 1(x)=4x-2(1-x), 3(x)=-2x+(1-x). Возьмем на плоскости систему координат, по горизонтальной оси вправо отложим x, по вертикальной оси – значения функций j(x).
I 1(x)=6x-2 III 3(x)=-3x+1
Находим нижнюю огибающую семейства прямых. Отыщем ее высшую точку. Она и дает решение игры. Ее координаты определяются решением уравнения 1(x)=3(x), откуда x*=1/3, *=2(x*)=3(x*)=0.
Таким образом, оптимальная стратегия Первого есть Р*=(1/3; 2/3), а цена игры *= 0.
Обозначим вероятность выбора Вторым первого столбца через y, а третьего столбца – через (1-y).
Воспользуемся утверждением, что M(1;y*)=*, т.е. 4y*-2(1-y*)= 0, откуда y*=1/3. Таким образом, оптимальная стратегия Второго Q*=(1/3;0, 2/3).
Окончательный ответ следующий: оптимальная стратегия Первого – Р*=(1/3; 2/3), оптимальная стратегия Второго – Q*=(1/3;0, 2/3), цена игры *= -1/2. Она достигается в пяти вариантах игры:
P*Q*
P1Q*
P2Q*
P*Q1
P*Q3
Где Pi i-я чистая стратегия Первого игрока, а Qj j-я чистая стратегия Второго игрока.
Рассчитаем риски во всех эти случаях. Риски максимальны в 4) и 2); минимальны в 3) и 5).
Соответственно 4) и 2) модели конкуренции, а 3) и 5) сотрудничества.
1) |
|
P(1/3,2/3) |
|
Q(1/3,0,2/3) |
|
|
|
|||||||||
i |
j |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
aij |
4 |
-2 |
-2 |
1 |
|
|
|
|||||||||
aij2 |
16 |
4 |
4 |
1 |
|
|
|
|||||||||
pi |
qj |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
2/3 |
2/3 |
1/3 |
2/3 |
2/3 |
|
|
|
||||
pi*qj |
1/9 |
2/9 |
2/9 |
4/9 |
|
|
|
|||||||||
pi*qj*aij |
4/9 |
- 4/9 |
- 4/9 |
4/9 |
0 |
v= |
0 |
|||||||||
pi*qj*aij2 |
1 7/9 |
8/9 |
8/9 |
4/9 |
4 |
r= |
2,00 |
|||||||||
2) |
|
P(1,0) |
|
Q(1/3,0,2/3) |
|
|
|
|||||||||
i |
j |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
aij |
4 |
-2 |
-2 |
1 |
|
|
|
|||||||||
aij2 |
16 |
4 |
4 |
1 |
|
|
|
|||||||||
pi |
qj |
1 |
1/3 |
1 |
2/3 |
0 |
1/3 |
0 |
2/3 |
|
|
|
||||
pi*qj |
1/3 |
2/3 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||||||
pi*qj*aij |
1 1/3 |
-1 1/3 |
0 |
0 |
0 |
v= |
0 |
|||||||||
pi*qj*aij2 |
5 1/3 |
2 2/3 |
0 |
0 |
8 |
r= |
2,83 |
|||||||||
3) |
|
P(0,1) |
|
Q(1/3,0,2/3) |
|
|
|
|||||||||
i |
j |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
aij |
4 |
-2 |
-2 |
1 |
|
|
|
|||||||||
aij2 |
16 |
4 |
4 |
1 |
|
|
|
|||||||||
pi |
qj |
0 |
1/3 |
0 |
2/3 |
1 |
1/3 |
1 |
2/3 |
|
|
|
||||
pi*qj |
0 |
0 |
1/3 |
2/3 |
|
|
|
|||||||||
pi*qj*aij |
0 |
0 |
- 2/3 |
2/3 |
0 |
v= |
0 |
|||||||||
pi*qj*aij2 |
0 |
0 |
1 1/3 |
2/3 |
2 |
r= |
1,41 |
|||||||||
4) |
|
P(1/3,2/3) |
|
Q(1,0,0) |
|
|
|
|||||||||
i |
j |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
aij |
4 |
-2 |
-2 |
1 |
|
|
|
|||||||||
aij2 |
16 |
4 |
4 |
1 |
|
|
|
|||||||||
pi |
qj |
1/3 |
1 |
1/3 |
0 |
2/3 |
1 |
2/3 |
0 |
|
|
|
||||
pi*qj |
1/3 |
0 |
2/3 |
0 |
|
|
|
|||||||||
pi*qj*aij |
1 1/3 |
0 |
-1 1/3 |
0 |
0 |
v= |
0 |
|||||||||
pi*qj*aij2 |
5 1/3 |
0 |
2 2/3 |
0 |
8 |
r= |
2,83 |
|||||||||
5) |
|
P(1/3,2/3) |
|
Q(0,0,1) |
|
|
|
|||||||||
i |
j |
1 |
1 |
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
aij |
4 |
-2 |
-2 |
1 |
|
|
|
|||||||||
aij2 |
16 |
4 |
4 |
1 |
|
|
|
|||||||||
pi |
qj |
1/3 |
0 |
1/3 |
1 |
2/3 |
0 |
2/3 |
1 |
|
|
|
||||
pi*qj |
0 |
1/3 |
0 |
2/3 |
|
|
|
|||||||||
pi*qj*aij |
0 |
- 2/3 |
0 |
2/3 |
0 |
v= |
0 |
|||||||||
pi*qj*aij2 |
0 |
1 1/3 |
0 |
2/3 |
2 |
r= |
1,41 |
|||||||||
Если игроки договорятся играть по 3) или 5) вариантам то есть:
3) Первый игрок по 2-й чистой стратегии, а Второй по оптимальной стратегии или
4) Первый по оптимальной, а Второй по3-й чистой стратегии,
то
они смогут сократить риск игры по
сравнению с оптимальными стратегиями
(с 2 до
),
при этом цена игры останется такой же,
как если бы оба они играли по оптимальным
стратегиям.