Т аблица 2

	 - x2	0 100 200 300 400 500 600 700
x2	F1( - x2) f2(x2)	0 20 34 46 53 55 60 60
0	0	0 20* 34 46 53 55 60 60
100	18	18 38* 52* 64 71 73 78
200	29	29 49 63 75 82 84
300	45	45 65* 79 91 98
400	62	62 82* 96 108
500	78	78 98* 112*
600	90	90 110
700	98	98 .

Таблица 3

	0 100 200 300 400 500 600 700
F2()	0 20 38 52 65 82 98 112
 ()	0 0 100 100 300 400 500 500

Т аблица 4

	 - x3	0 100 200 300 400 500 600 700
x3	F2( - x3) f3(x3)	0 20 38 52 65 82 98 112
0	0	0 20 38 52 65 82 98 112
100	25	25* 45* 63* 77 90 107 123
200	41	41 61 79* 93 106 123
300	52	52 72 94* 112 126
400	74	74 94* 112* 126*
500	82	82 102 120
600	88	88 106
700	90	90 .

Таблица 5

	0 100 200 300 400 500 600 700
F3()	0 25 45 63 79 94 112 126
()	0 100 100 100 200 400 400 400

Таблица 6

	 - x4	0 100 200 300 400 500 600 700
x4	F3( - x4) f4(x4)	0 25 45 63 79 94 112 126
0	0	126
100	30	142
200	52	146
300	76	155*
400	90	153
500	104	149
600	116	141
700	125	125 .

33. Матричная игра как модель конфликтной ситуации. Матричная игра двух лиц с нулевой суммой. Нижняя и верхняя цена игры, седловая точка. Чистые и смешанные стратегии игроков.

В экономике часто встречаются ситуации, в которых сталкиваются 2 или более стороны, преследующие различные цели, причем результат, полученный каждой из сторон при реализации, причем результат, полученный каждой из сторон при реализации определенной стратегии, зависит от действий других сторон.

Такие ситуации называются конфликтными. Например: борьба фирм за рынок сбыта, аукцион, спортивные состязания, карточная игра.

Рассмотрим конфликт двух участников с противоположными интересами. Математической моделью такого конфликта является игра с нулевой суммой. Участники это – игроки.

Стратегия игрока – это осознанный выбор одного из множества возможных вариантов его действий.

Рассмотрим конечные игры, в кот. множества стратегий игроков конечны; стратегии первого игрока пронумеруем от 1 до m, а стратегии второго игрока – от 1 до n.

Если первый игрок выбрал свою i-ю стратегию, а второй игрок свою j-ю стратегию, то результатом такого совместного выбора будет платеж a_ij второго игрока первому. Таким образом, игра с нулевой суммой однозначно определяется платежной матрицей.

а₁₁ а₂₁ а_1n

П= а₂₁ а₂₂ а_2n

а_m1 а_m2 а_mn

Строки - соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы -второго игрока. Игра происходит партиями.

Если выбор игрока не меняется от партии к партии – это чистая стратегия. У 1-го игрока m чистых стратегий, у 2-го n.

При любой стратегии первого игрока, второй игрок будет выбирать стратегию обеспечивающий ему наибольший выигрыш, поэтому с точки зрения первого игрока надо выбирать такую стратегию, при которой второй игрок, действуя разумно заплатит наибольшую сумму. Такая стратегия первого игрока называется максиминной, а величина = max min a_ij называется нижней ценой игры.

i j

Т.е. первый игрок, применяя свою максиминную стратегию обеспечивает себе выигрыш не меньше . Аналогично (с точки зрения второго игрока) определяется верхняя цена игры =min max a_ij

j i и соответствующая ей минимаксная стратегия второго игрока. То есть, принимая свою минимаксную стратегию второй игрок проиграет не больше .

Всегда . Если , то игра имеет седловую точку. При этом цена игры: = , а стратегия игроков соответствующие седловой точке называются оптимальными чистыми стратегиями (наиболее выгодные для обеих игроков)

34. Ряд распределения выигрышей в матричной игре. Средний ожидаемый выигрыш и риск. Оптимальные стратегии игроков и цена игры.

Смешанной стратегий первого игрока называется вектор P (p_1, p_2,…p_m ), где все p_{i 0} (i=1,2,…,m), а p =1. при этом p - вероятность, с которой первый игрок выбирает вою i-ю стратегию. Аналогично определяются смешанные стратегии и Q (q₁, q₂,…q_n)второго игрока. Чистая стратегия также попадает под определение смешанной – если все вероятности равны нулю, кроме одной, равной единице.

Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – . Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) с рядом распределения:

W(P,Q):	a11		…		aij		…		amn
	p1 q1		…		pi qj		…		pm qn

Если игроки применяют свои смешанные стратегии P (p_1, p_2,…p_m )и Q (q₁, q₂,…q_n) соответственно, Выигрыш первого: выигрыш a_ij

Вероятность p_i q_j.

То есть первый игрок с вероятностью p_i g_j. выигрывает a_ij.. Математическое ожидание выигрыша первого игрока равно М(P,Q)= p_i q_j a_ij есть средний выигрыш.

И это равно математическому ожиданию проигрыша второго игрока.

Пусть есть дисперсия этой случайной величины. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. , т.е. риском для первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш первого есть проигрыш для второго, то есть случайный проигрыш второго и вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для второго.

Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: – Первый игрок и – второй, стратегии оптимальны, если М(P,Q*) М(P*,Q*) М(P*,Q)

Пара (P*,Q*) – решение игры. Математическое ожидание с. в. называется ценой игры, обозначим ее .