- •1.Слау:основные определения, каноническая форма записи слау.
- •2.Элементарные преобразования слау, формулы исключения(вывод), правило прямоугольника.
- •3.Исследование и решение слау методом послежовательного исключения неизвестных Жордана,нахождение различных предпочитаемых эквивалентов данной слау и базисных решений, общего решения.
- •5.Многомерные векторы и действия над ними.N-мерное векторное пространство.
- •6.Матрицы, их классификация. Сложение матриц и умножение матрицы на число,умножение матрицы на матрицу,свойства.
- •8.Обратная матрица: определение, свойства, ур-е существования.
- •9.Обращение матрицы методом Жордана.
- •10 Обращенный базис слау. Приведение слау к предпочитаемому виду с помощью обращенного базиса.
- •21. Основное нерав-во теории двойственности.
- •22. Первая теорема двойственности.
- •23. Вторая осн.Теорема двойственности
- •24. Третья теорема двойственности.
- •25. Задача о расшивке узких мест пр-ва, ее мат.Модель и решение.
- •26.Транспортная задача по критерию стоимости.
- •27.Методы построения 1-го базисного допуст.Решения транспортной задачи.
- •28. Метод потенциалов
- •30. Динамическое программирование.
- •31. Задача распределения капитальных вложений: постановка, математическая модель и решение методом динамического программирования.
- •Т аблица 2
- •Но что же назвать риском всей игры?
- •35. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества. Графическое решение игр с матрицей 2*n и m*2 доминирование чистых стратегий.
- •36. Матричная игра типа m*n. Критерий оптимальности стратегий.
- •37. Теорема о преобразовании матрицы игры, сохраняющем оптимальные стратегии игроков.
- •38. Основная теорема теории игр, выражение оптимальных стратегий игроков через решения пары двойственных задач лп.
- •39. Игры с природой: основные понятия, матрицы рисков, критерии Вальда, Севиджа, Гурвица.
- •40. Многокритериальная оптимизация.
5.Многомерные векторы и действия над ними.N-мерное векторное пространство.
Сов-ть n чисел а1,а2,…,аn, заданных в определенном порядке,наз n-мерным вектором.Числа ai наз компонентами или координатами вектора,число n-его размерностью.Обозначают вектор след образом: а(а1,а2,…,аn) А(а1,а2,…,аn).
∑ векторов a и b наз вектор а+b=( а1+b1,а2+b2,…,аn+bn) каждая компонента кот =сумме соотв-х компонент слагаемых векторов. Произведением вектора а на число λ наз вектор λа= (λа1, λа2,…, λаn) каждая компонента кот равна произведению соотв компоненты вектора а на это число. Скалярным произведением двух векторов одной размерности a и b наз число,равное сумме попарных произведений соотв компонент векторов a и b. Скалярное произведение
(a,b)=a1b1+a2b2+…anbn=∑aibi.
Множество R эл-тов a,b,c,…наз линейным пространством,если:1)имеется правило,кот позволяет построить для кажд двух эл-тов a и b из R третий эл-т из R,называемый суммой эл-в a и b (a+b); 2) имеется правило,кот позволяет построить для кажд эл-та a из R и любого действительного числа λ эл-т а| из R,наз-мый произведением эл-та а на число λ и обозначаемый λа; 3)сущ нулевой эл-т обозначаемый 0,обладающий свойством а+0=а, для каждого эл-та а сущ эл-т –а и облад-й св-вом а+(-а)=0; 4)правила образования суммы эл-в и произведения эл-в на число удовлетворяют условиям a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c), λ(μa)=(μλ)a,1*a=a, 0*a=0*λ=0, (μ+λ)a=λa+ μa, λ(a+b)λa+λb.Множество всех n-мерных векторов-упорядоченных систем действительных чисел-образует линейное пространство в смысле данного определения.Его часто наз арифметическим n-мерным пространством.
6.Матрицы, их классификация. Сложение матриц и умножение матрицы на число,умножение матрицы на матрицу,свойства.
Матрицей размера mxn наз таблица чисел, кот расположена в m-строках и n-столбцах
a11 а12 …а1n
А= a21 а22 …а2n или кратко А=(aij)
…………..
am1 аm2 …аmn
Если т= п, то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка. Кв. матрица наз треугольной, если все ее элементы, стоящие над или под главной диагональю, равны нулю. Кв. матрица называется диагональной, если все ее эл-ты, стоящие на главной диагонали, отличны от нуля, а остальные равны нулю. Диагональная матрица наз единичной, если аii=1, i=1,...,п.Транспонированной матрицей наз матрица, строки кот.заменены столбцами.Единичную матрицу принято обозначать буквой Е:
.
2)(АВ)' = В'А' ; 3) (А + В)' = А' + В'.
Произведением матрицы А размера т х п на матрицу В размера n х k наз матрица С размера т х k, эл-ты кот сij равны скалярному произведению i-й строки матрицы А на_j-й столбец матрицы В, т.е.
Произведение матриц обозначается С = АВ. Скалярное произведение векторов а и b можно представить как произведение вектора-строки (матрицы-строки) а на вектор-столбец (матрицу-столбец) b': (a, b) = ab'.Для операции произведения матриц справедливы следующие свойства: 1)A(BС) = (АВ)С; 2)(А + В)С = АС + ВС; 3)A(B+С)=AB+AC; 4) λАВ) = (λА)В.
7.Системы линейных алгебраических неравенств
Система т алгебраических неравенств первой степени с п неизвестными может быть записана в виде
Совокупность п чисел a1,а.2,,...,аn, взятых в определенном порядке, называется решением системы неравенств (1.2.30), если при подстановке этих чисел на место соответствующих неизвестных неравенства не нарушатся. Решение (<xl5 a2,..., а/() системы неравенств называется неотрицательным, если все а > 0. В этом случае,когда система имеет решение,она наз.совместной, в противном случае противоречивой или несовместной. Совместная система наз определенной или неопределенной в зависимости от того, имеет ли она одно или несколько решений. Две СЛАН с одинаковым числом неизвестных наз.эквивалентгыми или равносильными, если они имеют одни и те же решения, либо вообще не имеет решений. СЛАН часто преобразуют в СЛАУ путем введения дополнительных неотрицательных переменных (неизвестных) хп+1 , xn+2 ,, хn+m:
Исследование и решение системы т линейных неравенств с п неизвестными сводится к исследованию и решению соответствующей системы m линейных уравнений с п + т неизвестными. В частности, нахождение неотрицательных решений системы линейных неравенств (1.2.30) связано с поиском неотрицательных решений системы линейных уравнений (1.2.31).Векторная форма записи СЛАУ: a1x1+a2x2+…+anxn=b
Матричная: A*x=b