24. Проверка общего качества уравнения множественной регрессии.

Дисперсионный анализ

Общ факт ост

Сумма (Yi-Yср)^2= сумма (Yi расч –Y ср)^2+ сумма(Yi-Yiрасч)^2

Чсс n-1 k-1 n-k

S^2факт= (сумма (Yрасч – Y ср)^2)/k-1

S^2ост= (сумма (Yi – Yрасч )^2)/n-k

Тестир

Ho – значим число

Dост>= D факт

H1: pyfxbvj

Dост< D факт

F=Sфак^2/Sост^2

F- крит Фишера

Fкр(альфа, k-1,n-k)

Если F>Fкр- статистич значимо (H1)

F<Fкр =>Ho

R^2=(сумма (Yрасч-Yср)^2)/(сумма(Y-Yср)^2)

Через R^2=> F= (R^2/ k-1)/((1-R^2)/n-k)

F= (R^2/1-R^2)*((n-k)/k-1)

25.Коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии.

Для множественной регрессии коэффициент детерминации является неубывающей функцией числа объясняющих переменных. Добавление новой объясняющей переменной никогда не уменьшает значение R², так как каждая последующая переменная может лишь дополнить, но никак не сократить информацию, объясняющую поведение зависимой переменной.  Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы, т.е. вводится так называемый скорректированный (исправленный) коэффициент детерминации: 

Rср^2, те скорректированный коэффициент детерминации, выглядит как R^2 ср, те с палочкой на верху

Rср^2=1-(1-R^2)*n-1/n-k

(1-R^2)=(сумма (Y-Yрасч)(^2)/n-k )/(сумма(Y-Yср)(^2/n-1))

Свойства

1. всегда меньше или равен коэф-ту детерминации

2. позволяет сравнивать модели с разным числом объясняющих переменных (при постоянном ко-ве набл.)

26-27. Ошибки спецификации.

Переменная называется существенной (несущественной), если она должна быть (не должна быть) включена в уравнение регрессии согласно правильной теории.

Соответственно возможны две ситуации:

1. в оцениваемой модели отсутствует часть объясняющих переменных, имеющихся в истинной модели (исключение существенных переменных);

2. в оцениваемой модели присутствуют объясняющие переменные, отсутствующие в истинной модели (включение несущественных переменных).

Если совершена первая ошибка – в оцениваемую модель не включены существенные переменные то последствия этого:

1. Уменьшается возможность правильной оценки и интерпретации урав-я.

2. Коэффициенты при оставшихся переменных могут оказаться смещенными. 3. Стандартные ошибки коэф-тов, t статистики и др показатели кач-ва становятся некорректными и не могут использоваться при оценке кач-ва урав-я.

Пример: 2-факторная истинная модель, для кот оцениваемая модель не включает одну из сущ-х перем-х. Пусть истинная модель опис-ся урав-ем:

Y=Бэта0+Бэта1Х1+Бэта2Х2+ эплселент. (1)

Модель без X2: Y=B0+B1Х1+ eps*, где eps* = B2Х2+ eps. (2)

Если переменные коррелированны, нарушается условие некоррелированности случайного члена и объясняющих переменных.

Для модели (1) оценка b1 коэффициента Бэта1 - несмещенная, т е M(b1)=Бэта1. Для модели (2) оценка b1* коэффициента Бэта1 - смещенная, т е M(b1*) не=Бэта1, смещение происходит на величину Бэта2 cov(х1,х2)/D(х1). Направление смещения зависит от знака истинного значения коэффициента

знак B2 согл. теор.\ cov(x1,x2) | + | - |

+ | + | - |

- | - | + |

Пример с бензином: у – спрос, х1 – цена, х2 – количество потр-лей.

Если совершается вторая ошибка, в модель включается несущественная переменная, то последствия этого не столь значимы, как в случае первой : не теряется возможность правильной оценки и интерпретации уравнения.

1. Коэф-ты при других перем-х остаются несмещенными.

2. Стандартные ошибки растут, t -статистики уменьш-ся, эффект-ть оценок падает.

3. Несущ-ая переменная м б значимой, а, след-но,урав-е с ней дает лучшую оценку, чем без нее.

4. Увеличивается риск мультиколлинеарности