Статистическая обработка результатов прямых многократных измерений(при значимых случайных погрешностях измерений и пренебрежимо малых неисключённых систематических погрешностях).
Анализ математической обработки результатов измерений позволяет выделить следующие типовые задачи:
- оценка результатов косвенных измерений одной физической величины, в том числе при многократных прямых измерениях каждой из величин, входящих в формулу для расчета результатов косвенных измерений;
- обработка одной или нескольких серий результатов прямых многократных измерений одной и той же физической величины;
- обработка результатов измерений массива номинально одинаковых величин;
- обработка результатов измерений разных величин или изменяющейся физической величины.
В метрологии под математической обработкой результатов измерений традиционно понимают обработку результатов многократных прямых или косвенных измерений одной и той же физической величины.
Математическая обработка включает два принципиально разных направления: детерминированную обработку результатов измерений и статистическую обработку. Детерминированная математическая обработка результатов измерений в обязательном порядке применяется при получении результатов косвенных измерений. Например, для определения плотности некоторого вещества измеряют массу и объем одного и того же образца, после чего рассчитывают его плотность.
При наличии систематических тенденций изменения результатов многократных измерений одной и той же величины также можно применить детерминированную математическую обработку результатов. В итоге этой обработки получают аналитическое описание функциональной (систематической) составляющей погрешности измерений. Такое описание позволяет исключить из дальнейшего рассмотрения систематические погрешности результатов измерений, после чего данные можно считать подготовленными для статистической обработки.
Подготовка массива результатов измерений к статистической обработке заключается в "исправлении результатов измерений". Задача-максимум состоит в исключении из результатов измерений всех систематических составляющих, задача минимум – в исключении переменных систематических составляющих. Следует признать, что любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться невыявленные систематические составляющие, а также всегда остаются неисключенные остатки систематических погрешностей. Методы выявления и оценки систематических погрешностей, в том числе и методы оценки неисключенных остатков систематических погрешностей, рассмотрены в соответствующем модуле.
Рассмотрим порядок статистической обработки исправленных результатов прямых равнорассеянных измерений одной и той же физической величины.
1.
Расчет среднего значения (получение
точечной оценки результата измерения)
2.
Расчет отклонений
2a.
Проверка правильности расчетов значений
отклонений и среднего арифметического
3.
Расчет оценки СКО результатов наблюдений
4. Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.
При n > 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев Пирсона 2 или Колмогорова (n > 100) или Мизеса-Смирнова 2 (n > 50).
При 50 > n > 15 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительным является составной критерий W.
Проверки по критериям согласия проводят при q = от 10% до 2%.
При n < 15 проверку принадлежности распределения к нормальному не проводят, а качественную оценку формируют на основе априорной информации о виде (законе) распределения случайной величины, что позволяет затем перейти к соответствующей количественной оценке.
5. Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.
Определение критерия ν для статистического отбраковывания экстремальных результатов Xextr и сравнение его с критическим значением ν':
ν = ( |Xextr – Xср| / σ) > ν',
или упрощенная процедура отбраковывания экстремальных отклонений при нормальном распределении погрешностей, например по критерию 3σ
|Vextr| > 3σ.
Если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью обработка повторяется с п.1.
6.
Расчет оценки среднего квадратического
отклонения результата измерения
(оценки с к о среднего арифметического
значения)
7. Расчет значения границы погрешности результата измерения Δ (по модулю)
Δ = t σXср;
где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа результатов наблюдений n и принятой доверительной вероятности Р;
Обычно принимают Р = 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи – те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и безопасностью жизни людей, с возможными значительными экономическими потерями, либо существенно затруднены возможности повторения измерительного эксперимента и т.д.
При наличии известных оценок частных неисключенных систематических составляющих погрешностей Θi рассчитывают границы неисключенной систематической составляющей погрешности
m > 4: к=1,1 при Р = 0,95 или к=1,4 при Р = 0,99
m
< 4:
k = f(m, l)
– см.табл.1 или графики в ГОСТ 8.207-76.
где Θ1 – максимальная систематическая составляющая погрешности,
Θ2 – ближайшая к максимальной систематическая составляющая погрешности.
7’. Пренебрежимо малыми по сравнению со случайной составляющей систематические погрешности считают при их значении менее Θ < 0,8σXср.
8. Запись результата измерения A в установленной форме
Q = Xср + Δ, Р
где Xср – точечная оценка результата измерений, рассчитанная как среднее арифметическое значение для всей серии наблюдений;
Δ – доверительная граница результата измерений, которую рассчитывают с использованием зависимостей
Δ = t σXср или Δ = Кσu,
где t – коэффициент Стьюдента;
К– коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;
σu – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения при наличии случайной и неисключенной систематической погрешностей; Р – доверительная вероятность.