Лекция № 10. Булевы алгебры.
В данной лекции будут рассмотрены способы представления логических функций в виде суперпозиций функций И, ИЛИ, НЕ.
Разложение функций по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
Введём обозначения:
.
Пусть
параметр, равный 0 или 1. Тогда
,
если
,
и
,
если
.
Теорема 8.1. Всякая логическая функция может быть представлена в следующем виде:
,
где
,
а дизъюнкция берётся по всем
наборам значений переменных
.
Равенство (1) называется разложением
по переменным
.
Формула (1) достаточно громоздка на вид,
однако её несложно использовать при
небольших значениях
и
.
Например, при значениях
,
разложение (1) имеет вид:
.
Практический
смысл такого разложения очевиден: оно
позволяет заменять функцию нескольких
переменных суперпозицией конечного
числа функций с меньшим количеством
переменных. Особенно важен частный
случай
,
когда разложение производится по всем
переменным. При этом все переменные в
правой части равенства (1) получают
фиксированные значения, и функции в
конъюнкциях правой части становятся
равными 0 или 1, что даёт:
,
где дизъюнкция
берётся по всем наборам
,
на которых
.
Такое разложение называется совершенной
дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ)
функции
.
СДНФ содержит ровно только конъюнкций,
сколько единиц в таблице функции
;
каждому единичному набору
соответствует дизъюнкция всех переменных,
в которых
взято с отрицанием, если
и без отрицания, если
.
Таким образом, существует взаимно
однозначное соответствие между таблицей
функции
и её СДНФ. Следовательно, для каждой
логической функции СДНФ является
единственной (с точностью до порядка
переменных и конъюнкций).
Пример 1. Составить СДНФ для функции, заданной таблицей:
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Поскольку данная таблица (уже встречавшаяся ранее) содержит три единичных набора, СДНФ будет конъюнкцией трёх дизъюнкций. В свою очередь, каждая дизъюнкция включает три переменных – по числу их в функции .
Получим:
.
Напомним, что, подобно знаку умножения,
знак дизъюнкции
в логических формулах часто опускают.
Тогда полученное выражение примет более
компактный вид:
.
Единственная функция, которая не имеет
СДНФ – это константа
.
Формулы, содержащие кроме переменных и скобок, только знаки дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, будем называть булевыми формулами.
Теорема 8.2. Всякая логическая функция может быть представлена булевой функцией, то есть как суперпозиция дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.