6. Выполнение машинных операций умножения и деления.

Машинные методы умножения чисел в прямых кодах

Операция умножения состоит из ряда последовательных сложений. Сложением управляют разряды множителя: если в очередном разряде множителя содержится единица, то к сумме добавляется множимое. При этом, в зависимости от метода умножения, выполняется сдвиг либо множимого, либо частичной суммы. Наряду с этим умножение можно начинать как с младших, так и со старших разрядов множителя.

Введем некоторые обозначения, используемые ниже: - частичное произведение, - частичная сумма.

Ниже приводится схема четырех алгоритмов умножения .

Остановимся более подробно на реализации умножении согласно алгоритму А.

Представим Мн= А = 0,а₁а₂…а_n

Мт= B = 0,b₁b₂….b_n = b₁2^-1+b₂2^-2+…+b_n2^-n+b_n2^-n.

Мн∙Мт = С=А∙В= 0,а₁а₂…а_n ( b₁2^-1+b₂2^-2+…+b_n2^-n)=

=0+(b₁∙0,а₁а₂…а_n)2^-1+…+(b_n-1∙0,а₁а₂…а_n)2^-(n-1)+(b_n∙0,а₁а₂…а_n)2^-n=

=0+b₁∙A2^-1+…+b_n-1∙A2^-(n-1)+…+b_n∙A2^-n=0+b_n∙A2^-n+b_n-1∙A2^-(n-1)+…+b₁∙A2^-1=

=(…((0+b_n∙A)2^-1+b_n-1∙A)2^-1+…+b₁∙A)2^-1

Ниже приведены (без вывода) остальные три реализации алгоритмов (Б, В и Г) умножения.

Мн∙Мт = С=А∙В = (0+b_n∙A+b_n-1∙A∙2²+…+b₁∙A∙2^n-1)2^-n (алгоритм Б)

Мн∙Мт = С=А∙В = (…(0+b₁∙A) ∙2¹+b₂∙A)∙2¹+…+b_n∙A)∙2^-n (алгоритм В)

Мн∙Мт = С=А∙В = 0+b₁∙A∙2^-1+b₂∙A∙2^-2+…+b_n∙A∙2^-n (алгоритм Г)

Структурные схемы операционных устройств, выполняющих умножение по алгоритмам А,Б,В и Г приведены на рис 7.

Рассмотрим пример умножения чисел согласно алгоритму А.

Пример: М_H = 0,1011

b₁ … b₄

₄

М_T = 0,1101

0,0000 начальное содержимое сумматора

0,1011 = Мн ∙ b₄ первое частичное произведение

0,1011 первая частичная сумма

0,0101 1 ∙ 2^-1 сдвиг первой частичной суммы

0,0000 = Мн ∙ b₃ второе частичное произведение

0,0101 1 вторая частичная сумма

0,0010 11 ∙ 2^-1 сдвиг второй частичной суммы

0,1011 = Мн ∙ b₂ третье частичное произведение

0,1101 11 третья частичная сумма

0,0110 111 ∙ 2^-1 сдвиг третьей частичной суммы

0,1011 = Мн ∙ b₁ четвертое частичное произведение

1,0001 111 (возникло переполнение)

0,1000 1111 ∙ 2^-1 сдвиг для получения верного результата Мн∙Мт

Заметим, что при умножении чисел по алгоритму А на отдельных этапах операции возможно переполнение (попадание значащей единицы в знаковый разряд). Однако при последующем сдвиге переполнение устраняется. При использовании других алгоритмов (Б, В, Г) переполнения не возникает.

Ускорение операции умножения

При стандартных методах умножения в каждом такте осуществляется последовательный сдвиг в соответствующих регистрах и промежуточное суммирование. При этом время формирования окончательного результата в основном зависит от времени суммирования. Ускорить машинное время выполнения операции можно путём сокращения количества суммирования промежуточных результатов.

Если при анализе множителя в нем окажется последовательно изображённых m единиц, то самая младшая единица заменяется на единицу с крышкой. (Операция сложения заменяется операцией вычитания, оставшиеся m-1 единиц разрядной сетки множителя заменяются нулями, а ближайший нуль слева на единицу.)

Умножение в дополнительных кодах.

Умножение чисел в дополнительных кодах может выполняться по любому из рассмотренных выше четырех алгоритмов, но отличается тем, что для получения верного результата необходимо вводить поправки. Умножение правильных дробей и целых чисел имеет некоторые различия.

Матричные методы умножения.

Кроме рассмотренных методов ускоренного умножения существуют методы умножения, основанные на использовании матриц промежуточных результатов

Деление чисел в прямых кодах.

Алгоритм деления с восстановлением остатка состоит в следующем.

1. Выполняется пробное вычитание с формированием первого остатка A₁=[Дм]_доп+[-Дм]_доп. Далее, если А₁ < 0, то в первый разряд, расположенный слева от запятой заносится ноль (0, ), иначе единица (1, ) – переполнение и переход к пункту 5.

2. Если А_i < 0, то восстанавливаем предыдущий остаток A_i=A_i+[Дм]_доп.

3. Формирование очередного остатка. A_i+1=A_i∙2+[-Дм]_доп, то в очередной разряд частного справа от запятой записывается ноль (Чт(n)=0), иначе записывается единица (Чт(n)=1).

4. Если достигнута заданная точность частного или получен нулевой остаток A_i+1, то процесс деления окончен и переход к пункту 5, иначе переходим к пункту 2 алгоритма.

5. Окончание алгоритма.

Из рассмотренного алгоритма видно, что:

1) необходимо затрачивать время на восстановление остатка;

2) процесс деления не регулярный, в зависимости от делимого и делителя

частное будет содержать нулей больше или меньше, и чем больше нулей, тем больше требуется времени на восстановление остатков.

Как видно из примера, для получения остатка А_i+2 необходимо выполнить

А_i+2 = ( A_i+1 + Д_T ) ∙ 2¹ - Д_T = A_i+1 ∙ 2¹ + 2Д_T - Д_T = A_i+1 ∙ 2¹ + Д_T.

Из этого следует, что восстанавливать остаток не обязательно. Достаточно сдвинуть полученный отрицательный остаток влево на один разряд и добавить делитель. Это является основой алгоритма для выполнения деления без восстановления остатка.

Алгоритм деления без восстановления остатка.

1. Выполняется пробное вычитание с формированием первого остатка A₁=[Дм]_доп+[-Дм]_доп. Далее, если А₁ < 0, то в первый разряд, расположенный слева от запятой заносится ноль (0, ), иначе единица (1, ) – переполнение и переход к пункту 5.

2. Формирование очередного остатка. Если А_i < 0, то A_i+1=A_i∙2+[Дм]_доп, иначе A_i+1=A_i∙2+[-Дм]_доп.

3. Если А_i+1 < 0, то в очередной разряд частного справа от запятой записывается ноль (Чт(n)=0), иначе записывается единица (Чт(n)=1).

4. Если достигнута заданная точность частого или получен нулевой остаток A_i+1, то процесс деления окончен и переход к пункту 5, иначе переходим к пункту 2 алгоритма.

5. Окончание алгоритма.

Деление чисел в дополнительных кодах.

При делении чисел знаковая и значащая части частного формируются раздельно. Знак частного формируется согласно формулы:

Знак Чт = Знак Дм  Знак Дт.

Основой деления чисел в дополнительных кодах является деление без восстановления остатка. В отличие от деления в прямых кодах, здесь как для определения цифры частного, так и для определения действия сравнивается знак делимого (остатка) со знаком делителя.

Ниже приведен алгоритм деления чисел в дополнительных кодах.

1. Выполняется пробное вычитание: если знак Дм  знаку Дт, то первый остаток A₁=[Дм]_доп+[Дм]_доп, иначе A₁=[Дм]_доп+[-Дм]_доп. Далее формируется первый разряд, расположенный слева от запятой - ноль (0, ) если знак А₁  знаку Дт, иначе единица (1, ).

2. Формирование очередного остатка. Если знак А_i  знаку Дт, то A_i+1=A_i∙2+[Дм]_доп, иначе A_i+1=A_i∙2+[-Дм]_доп.

3. Если знак А_i+1  знаку Дт, то в очередной разряд частного справа от запятой заносится ноль (Чт(n)=0), иначе единица (Чт(n)=1).

4. Если достигнута заданная точность частого или получен нулевой остаток A_i+1, то процесс деления окончен, иначе переходим к пункту 2 алгоритма.

Пример: Дм = - 0.1011 [ Дм ]_доп = 1.0101

Дт = 0.1101 [ Дт ]_доп = 0.1101 [-Дт ]_доп = 1.0011

На деление Дм и Дт придут в дополнительном коде