10. Множественная регрессия. Тест Чоу на наличие структурного сдвига. Фиктивные переменные.

Пусть снова есть линейная модель: , . Y теперь зависит от k факторов: .

- параметры (коэффициенты) модели, - случайные возмущения.

Матричная форма записи модели: .

Два уравнения регрессии:

Теоретическая регрессия: , где - случайные возмущения.

Модельная регрессия: , где - остатки, а .

Проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии, о произвольном значении коэффициента, о значении уравнения в целом и построение доверительных уравнений в множественной регрессии осуществляется точно так же, как и в парной.

Однородность данных

Как известно классические условия регрессионного анализа предполагают статистическую однородность данных. В жизни это бывает не всегда. Например если мы изучаем зависимость индивидуального дохода работников от стажа, образования и т.д., то может возникнуть подозрение, что характер самой зависимости различен для мужчин и женщин. Задача: проверить однородность данных для двух подгрупп наблюдений, т.е. можно ли использовать одну общую модель или нужно использовать две различные модели. Для просто сравниваем верхнюю и нижнюю часть матрицы.

Тест Чоу используется для проверки однородности данных для двух подгрупп наблюдений, т.е. можно ли использовать одну общую модель или нужно использовать 2 различные модели.

Для проверки гипотезы о наличии структурного сдвига формулируются нулевая гипотеза: , и альтернативная - .

Выборка разбивается по экономическому смысловому признаку на две. Используя МНК, строится модель по выборке объемом и находится для нее . Для каждой из подвыборок строится линейная регрессия. - сумма квадратов отклонений значений, посчитанных по первой подвыборке, – сумма квадратов отклонений значений, посчитанных по второй подвыборке.

Статистика: имеет распределение Фишера с степенями свободы. По таблице распределения Фишера определяется критическое значение статистики для выбранного уровня значимости ( ): .

Если , то гипотеза отвергается, т.е. следует использовать 2 разных модели.

Если , то гипотеза принимается, т.е. 1 общая модель.

Фиктивные переменные.

Помимо непрерывных переменных в экономическом анализе очень важны так называемые качественные показатели: номинальные, например пол, наличие высшего образования, регион, форма собственности и др., и порядковые, например уровень образования (начальное, среднее, высшее), уровень развития региона и т.п. Для того, чтобы включить такие переменные в регрессионный анализ используют вспомогательные бинарные переменные, принимающие только два значения: 0 и 1. Общее правило введения: число бинарных фиктивных переменных должно быть всегда на единицу меньше числа значений исходного качественного показателя. То значение качественного показателя, которому соответствуют нулевые значения фиктивных переменных, называется базовым. Рассмотренные фиктивные переменные называются фиктивными переменными сдвига.

Есть и фиктивные переменные наклона. Они используются, если нужно охарактеризовать «перелом» в развитии: , где . Интерпретация коэффициентов: на первой части регрессии имеет коэффициенты и . На второй части выборки они возрастают, соответственно, на величину коэффициентов при фиктивных переменных сдвига и наклона. Значимость коэффициентов при фиктивных переменных определяется с помощью t-статистики. Т.о., проверяя значимость коэффициента , т.е. тестируя гипотезу о том, что равен 0, мы проверяем предположение, что фактически структурного изменения не произошло. Фиктивные переменные позволяют строить кусочно-линейные модели.