30. Частная автокорреляционная функция. Модели arma(p,q). Свойства acf и pacf.

Для того чтобы найти «чистую» автокорреляцию с лагом исключив линейное влияние промежуточных значений ряда, вычисляют частный коэффициент автокорреляции.

Частный коэффициент автокорреляции, рассматриваемый как функция лага , называется частной автокорреляционной функцией и обозначается PACF. Её стат оценкой явл выборочная частная авток функция.

Расчет частного коэф корреляции.

Для того чтобы найти частную коррел между Y и X при исключении влияния T, нужно

1. Провести регрессию Y от T и получить остатки .

2. провести регрессию X от T и получить остатки .

3. Вычислить выборочный коэф корреляции между остатками этих двух регрессий: r(Y,X/T)=r(e,d).

Частная корреляция в многомерном случае.

Пусть нужно определить коэф частной коррел между Y и одним из факторов при исключении влияния всех остальных факторов.

R^2(X) - коэф детерминации, полученный при регрессии Y от всех факторов X (в том числе и от ), а R^2(X\ - коэф детерминации, полученный при регрессии Y от всех факторов Х, кроме (т.е. от Х\ ). Тогда

Расчет частного коэф автокорреляции порядка τ

Для определения коэф частной автокорреляции r_части (τ) ряда У порядка τ при исключении влиянии всех промежуточных наблюдений, надо вычислить:

• R² (Y_t-τ ) - коэф детерминации полученный при регрессии Y_t от рядов Y_t-1, Y_t-2, …Y_t-(τ-1), Y_t-τ

• R²(Y_t-τ+1) коэф детерминации полученный при регрессии Y от Y_t-1, Y_t-2, …Y_t-(τ-1), кроме Y_t-τ

|r_части (τ)| =√ R² (Y_t-τ ) - R²(Y_t-τ+1)/1- R²(Y_t-τ+1)

Свойства ACF и ЧАКФ линейных моделей временных рядов.

• Для процесса AR(p):

- АКФ – экспоненциально убывает,

- ЧАКФ – резко обрывается .

• Для процесса MA(q):

- АКФ – резко обрывается ,

- ЧАКФ – экспоненциально убывает.

Кроме того, для любых процессов .

Выборочные, т.е. рассчитанные по имеющимся данным значения АКФ и ЧАКФ, разумеется, отличаются от своих теоретических прототипов ДАЖЕ для истинных моделей. Вместо равенства нулю определяют значимость или незначимость соответствующих коэффициентов корреляции. Приближенно коэффициент автокорреляции считают значимым, если .

Проверка значимости коэффициентов автокорреляции.

Автокорреляция: ; ; . Если , k-й коэффициент значим.

Частная автокорреляция: ; ; . Если , k-й коэффициент значим.

Объединенные модели авторегрессии – скользящего среднего ARMA(p,q): . Рассмотрим, например, модель ARMA(1,1): . АКФ модели ARMA(p,q) ведет себя так же, как и для модели AR(p), а ЧАКФ – как для модели MA(q). Они убывают.

Числовые хар-ки модели : ; ; ; , , .

Условия стационарности процесса ARMA(1,1). ; если ; ,если . Эти условия полезны для проверки того, что анализируемый процесс может быть описан моделью ARMA(1,1).

Оценивание параметров процесса ARMA(1,1). Есть стационарный временной ряд . Требуется найти для него параметры модели ARMA(1,1) с нулевым средним. Имеем: ; . Таким образом, для определения параметров модели ARMA(1,1) нужно вычислить дисперсию ряда и коэффициенты автоковариации и автокорреляции первого и второго порядка.