28. Модель авторегрессии ar(2). Расчет параметров.

Пусть каждое значение линейно связано только с двумя своими предшествующими

наблюдениями . - белый шум, т.е. ряд из независимых, одинаково распределенных случайных величин с нулевым матожиданием и одинаковой (постоянной) дисперсией . - некоторые константы. Часто рассматривают и ряд с нулевым средним (без свободного члена) .

Числовые хар-ки модели. Проводя выкладки, аналогичные модели AR(1) получим соотношения, связывающие дисперсию и автоковариацию . Откуда, используя снова , получим , или в общем случае, . Это – уравнения Юла-Уокера, они используются для расчета параметров модели.

Оценивание параметров процесса авторегрессии второго порядка AR(2). Есть стационарный временной ряд . Требуется найти для него параметры модели AR(2). Имеем , , . Таким образом, для определения параметров модели AR(2) нужно вычислить среднее значение ряда и коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка.

Условие стационарности процесса AR(2). Как мы помним, условием стационарности процесса AR(1) является ограничение коэффициента авторегрессии: . Это следует из формулы для дисперсии членов временного ряда и из того, что дисперсия всегда положительна. Аналогично и для процесса AR(2) условия стационарности выражаются в виде ограничений на коэффициенты модели: .

29. Модель скользящего среднего ma(1). Расчет параметров.

Пусть каждое значение линейно связано только с непосредственно предшествующим случайным возмущением . - белый шум, т.е. ряд из независимых, одинаково распределенных случайных величин с нулевым матожиданием и одинаковой (постоянной) дисперсией . и - некоторые константы. Их и надо, в конце концов, определить. Часто рассматривают и ряд с нулевым средним (без свободного члена) .

Числовые характеристики модели MA(1) Прежде всего, найдем дисперсию и автоковариацию , а так как дисперсия константы равна нулю и ряд стационарен, т.е. и учитывая, что получаем .

Теперь найдем автоковариацию первого порядка

Ковариация с константой равна нулю и ковариация между и также равна нулю, так как они получены в разные моменты времени .

Наконец, константу выносим как множитель из ковариации .

Рассмотрим отдельно . Тогда для автоковариации первого порядка получаем , а так как рад стационарен, т.е. , то получаем .

Теперь найдем коэффициент автокорреляции первого порядка . Аналогичным образом вычисляются и остальные коэффициенты автокорреляции произвольного порядка. Кроме того, мы помним, что в любой модели .

Оценивание параметров процесса скользящего среднего первого порядка MA(1). Есть стационарный временной ряд . Требуется найти для него параметры модели MA(1). Имеем , находим из или . Таким образом, для определения параметров модели MA(1) нужно вычислить среднее значение ряда, коэффициент автокорреляции первого порядка и решить квадратное уравнение .

Модель скользящего среднего MA(q): .

Св-во автокорел фун-и для модели MA(q).Автокорреляционная функция измеряет автокорреляцию с лагом , т.е. корреляцию исходного временного ряда с ним же самим, сдвинутым на величину лага. Для модели MA(q) имеем . Это свойство часто используется для определения нужного порядка модели скользящего среднего. Строится график автокорреляционной функции и выбирается тот порядок q, начиная с которого все коэффициенты автокорреляции незначимо отличаются от нуля.