6. Проверка гипотез в одномерной модели. Интервальная оценка коэффициентов.
Суть задачи проверки гипотезы:
1.Формулируются 2 гипотезы – нулевая и альтернативная
Ho: = с крышкой мы рассматриваем
H1: не= с крышкой простейшую гипотезу
2.Рассчитывается специально составленная выборочная характеристика (статистика), распределение которой известно (это должно быть выяснено заранее, мы пользуемся готовыми результатами)
3.Выполняется правило проверки гипотезы
Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал (1,2), который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение этого параметра
P(1<<2) = Такой интервал называется доверительным, а вероятность гамма – доверительной вероятностью или уровнем надежности. Типичное значение гаммы = 0.95.
Доверительный
интервал для коэффициента
это
такой числовой интервал, что
истинное
значение коэффициента
попадает в него с заданной вероятностью
(
).
.
При
увеличении выборки, доверит интервал
уменьшается, при увеличении надежности
доверит интервал увеличивается. Для
проверки значимости коэффициента
регрессии формулируются гипотезы:
нулевая, что все коэффициенты равны
нулю:
,
и альтернативная -
.
Коэффициент значим
Статистика:
имеет распределение Стьюдента с
степенями свободы. По таблице распределения
Стьюдента определяется критическое
значение статистики
для выбранного уровня значимости
(
и числа степеней свободы
.
Если
,
то коэффициент
отклоняется (коэффициенты значимы).
Если
,
то коэффициент
принимается (коэффициенты незначимы).
Есть и другой вариант проверки гипотезы. Вместо того, чтобы по заданному уровню значимости α вычислить tкр, по наблюдаемому значению tнабл вычисляется P-значение – вероятность того, что статистика будет больше, чем tнабл
Правило проверки гипотезы,
Если
P-value
,
то
отклоняется (коэффициенты значимы).
Если
P-value
,
то
принимается (коэффициенты незначимы).
1.
,
- гипотеза отвергается
2.
,
- гипотеза принимается.
7. Множественная регрессия. Мнк. Теорема Гаусса-Маркова для многомерной модели.
Множественная регрессия – это прогнозирование единственной переменной y на основании нескольких переменных Х. Она широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функций издержек производства. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное воздействие их на моделируемый показатель. Построение уравнения множественной регрессии начинается с выбора спецификации модели. Суть проблемы спецификации включает в себя два вопроса: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.
Пусть
есть линейная модель:
,
.
Y зависит от k факторов:
.
-
параметры (коэффициенты) модели,
- случайные возмущения.
В
матричном виде эту систему из n уравнений
Y1=β0+β1x11+…+βkx1k+ε1
Y2=β0+β1x21+…+βkx2k+ε2
….
Yn=β0+β1xn1+…+βkxnk+εn
Можно
записать так
Добавим слева в матрицу значений факторов столбец из одних единиц – значения искусственного показателя
X0
Xk
X2
X1
y1 1 x11 x12 … x1k
y2 1 x21 x22 … x2k
Y = … X = … … … … …
Yn 1 xn1 xn2 … xnk
Обозначим также столбец случайных возмущений и столбец коэффициентов
1 1
= 2 = 2 Тогда
… …
n k
y1 1
x11 x12 … x1k 1 1
y2 1 x21 x22 … x2k 2 2
… = … … … … … * … + …
Yn 1 xn1 xn2 … xnk k n
Два уравнения регрессии:
Теоретическая
регрессия:
,
где
- случайные возмущения.
Модельная
регрессия:
,
где
- остатки, а
.
bi-оценки коэффициентов βi. Их снова получаем МНК.