24. Автоковариационная и автокорреляционная функция. Способ вычисления. Коррелограмма.

Коэффициент автокорреляции

Если врем.ряд стационарен, то его дисперсия постоянна Var (Y_t) =Var(Y_t+τ)

Т.о.

Очевидно, при этом коэффициент автокорреляции

ρ (0)=ρ₀=1

-1 ≤ ρ(τ) ≤ 1

Выборочный коэффициент автокорреляции ρ=ρ(τ) вычисляется как обычный коэффициент корреляции, только не между двумя переменными Х и У, а между рядом У и им же самим, сдвинутым на величину лага τ.

Расчет выборочного коэффициента корреляции

у₁ х₁

у₂ х₂

_… …

у_n х_n

r_xy= r(X,Y) = КОРРЕЛ (X,Y)

r_xy= r(X,Y) = КОРРЕЛ (х_1: х_n; у₁: у_n)

Расчет выборочного коэффициента автокорреляции I-го порядка

Y ₁ Y₁

Y ₂ Y₂ Y₁

… … Y₂

Y_n-1 Y_n-1 …

Y_n Y_n Y_n-1

Y_n

r_τ= (τ) = r( Yt,Y_t+τ)= КОРРЕЛ (Y_t, Y_t+τ)

r₁= (1) = r( Yt,Y_t+1)= КОРРЕЛ (y_1: y_n; у₁: у_n-1)

Расчет выборочного коэффициента автокорреляции порядка τ

Y ₁ Y₁ τ

Y₂ …

… Y_1+τ Y₁

Y_n-1 … Y₂

Y_n …

Y_n Y_n-τ

…

Y_n

r_τ= (τ) = r( Yt,Y_t+τ)= КОРРЕЛ (y_1+τ: y_n; у₁: у_n-τ)

Автокорреляционная функция

Коэффициент автокорреляции, рассматривающийся как функция ρ=ρ(τ) лага τ, называется автокорреляционной функцией и обозначается АКФ (или ACF)

Ее статистической оценкой явл. выборочная автокорреляционная функция.

График АКФ называется коррелограммой.

Автоковариационная функция: отражает связь между рядом и сдвинутым на "тау" рядом; "гамма"("тау")=cov(X(t), X(t+"тау")) - связь между рядом и сдвинутым на "тау" рядом; ^"гамма"("тау") (оценка)=1 / (N-"тау") * E(N-"тау"|t=1) (X(t)-^a)*(X(t+"тау")-^a); ^a - матожидание=1/N * E(N|t=1) X(t); "гамма"(0)=Ђ^2 - ряд без сдвига, ковариация ряда с самим собой; r("тау")=ковариация / дисперсия=(cov(X(t), X(t+"тау"))) / (ЂX(t)*ЂX(t+"тау")) (ряд стационарный - от момента времени t ничего не зависит)="гамма"("тау") / "гамма"(0).

Последовательность коэффициентов автокорреляционной ф-ии и уравнений 1,2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелораммы определяет лаг (число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции), при котором автокорреляционная функция наиболее высокая, следовательно и лаг, при котором связь между текущим и предыдущим уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при полном анализе автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Выявление структуры ВР

1. Если max значение принимает коэф автокорреляции к порядка, то наблюдаются циклические колебания с порядком равным к.

2. Если max значение принимает коэф автокорреляции первого порядка, то ряд содержит тренд.

3. Если нет значимых коэф автокорреляции, то возможны:

- ряд не содержит детерминированных свойств.

- возможен нелинейный тренд