25. Линейные модели стационарных временных рядов (авторегрессии и скользящего среднего)

1. модели (процессы) авторегрессии AR (р), где р – порядок регрессии

2. модели (процессы) скользящего среднего МА (q), где q – порядок скользящего среднего

3. комбинированные модели ARMA(p,q), где р – порядок регрессии, а q – порядок скользящего среднего

Модели авторегрессии

1. модель авторегрессии 1-го порядка AR(1)

2. модель авторегрессии 2-го порядка AR(2)

3. модель авторегрессии порядка p AR(p)

Модели скользящего среднего

1. Модель скользящего среднего первого порядка МА (1)

2. Модель скользящего среднего второго порядка MA(2)

3. Модель скользящего среднего порядка q МА (q)

26. Модель авторегрессии ar(p). Уравнения Юла Уокера.

Пусть каждое значение линейно связано только с р своими предшествующими наблюдениями . - белый шум, т.е. ряд из независимых, одинаково распределенных случайных величин с нулевым матожиданием и одинаковой (постоянной) дисперсией . - некоторые константы. Часто рассматривают и ряд с нулевым средним (без свободного члена) .

Числовые характеристики модели. Проводя выкладки, аналогичные модели AR(2), получаем соотношение, связывающее дисперсию и автоковариации

γ_τ = cov (Y_t,Y_t-τ) = a₁ γ_τ-1 + a₂ γ_τ-2 +…+a_p γ_τ-p

Откуда, снова использую , получим +…+ a_p γ_τ-p

Наконец, система уравнений Юла Уокера для модели AR(p) (используем, что ) выглядит так .

Решая эту систему относительно неизвестных и подставляя выборочные оценки коэффициентов автокорреляции (r вместо ), получаем параметры модели.

Свойства автокорреляционной функции процесса AR(p). При выполнении условий стационарности автокорреляционная функция для модели AR(p) экспоненциально убывает с ростом лага (иногда в виде колебательной экспоненциально затухающей функции). Если есть линейный тренд, то ACF убывает линейно и очень медленно.

Свойство частной автокорреляционной функции для модели AR(p)

Частная автокорреляционная функция измеряет «чистую» автокорреляцию с лагом , исключив (линейно) влияние промежуточных значений ряда. Для модели AR(p) имеем >p. Это свойство часто используется для определения нужного порядка модели авторегрессии. Строится график частной автокорреляционной функции и выбирается тот порядок р, начиная с которого все частные коэффициенты корреляции незначимо отличаются от нуля.

27. Модель авторегрессии ar (1)

Пусть каждое значение y_t линейно связано только со своим непосредственно предшествующим наблюдением

ε_t – белый шум, т.е. ряд из независимых, одинаково распределенных случайных величин с нулевым мат.ожиданием и одинаковой (постоянной) дисперсией δ².

а₀ и а₁ – некоторые константы. Их и надо в конце концов определить. Часто

рассматривается и ряд с нулевым средним (без свободного члена)

Числовые характеристики модели AR (1)

Прежде всего, найдем матожидание врем.ряда

E(y_t)=E(a₀+a₁y_t-1+ ε _t) = E(a₀)+E(a₁y_t-1)+E(ε _t)= a₀+ a₁E(y_t-1)+0

Т.к. матожидание константы равно ей же E(a₀)= a₀

E(ε _t)=0 и ряд стационарен, т.е. E(y_t)= E(y_t-1)

Получается E(y_t) = a₀+ a₁E(y_t-1)

Откуда

В модели с нулевым средним очевидно, что a₀=0

Теперь найдем дисперсию и автоковариацию

А т.к. дисперсия константы = 0 Var(a₀)=0 и ряд стационарен, т.е. Var(y_t)=Var(y_t-1)

Получается γ₀=a₁² Var (y_t)+δ²

Откуда

Т.к. дисперсия положительна, очевидно, а₁<1

Теперь найдем автоковариацию I-го порядка

Ковариация с константой =0 Cov(a₀, y_t-1)=0 и ковариация между y_t-1 и ε _t также равна 0, т.к. они получены в разные моменты времени Cov(ε _t, y_t-1)=0.

Наконец, константу выносим как множитель из ковариации Cov(a₁, y_t-1)= а₁Var(y_t-1)

Тогда для автоковариации I-го порядка получаем γ₁=a₁ Var (y_t-1)

А т.к. ряд стационарен, т.е. Var(y_t)=Var(y_t-1), то получаем

Аналогично для автоковариации порядка τ получаем

Откуда

Т.о. γ₂=а₁γ_1,

γ₃=а₁γ_2,

γ₄=а₁γ₃

Иначе выражая, автоковариация произвольного порядка

Теперь найдем коэффициент автокорреляции любого порядка

Таким образом, Последовательность этих значений и образует ACFs

и так далее.

Кроме того мы помним, что ρ₀=1

Оценивание параметров процесса авторегрессии I-го пор. AR(1)

Есть стацион. временной ряд

Требуется найти для него параметры модели AR(1)

Имеем

Т.о., для определения параметров модели AR(1) нужно вычислить среднее значение ряда, его дисперсию и коэффициент автокорреляции I-го порядка.