23.Выравнивание временного ряда (аналитическое – выделение тренда регрессией от времени; механическое – метод последовательных разностей.)

Временной (динамический) ряд – совокупность наблюдений анализируемого показателя (случайной величины) У(t), в последовательные моменты (или периоды) времени.

Иначе говоря, временной ряд – это упорядоченная во времени последовательность наблюдений.

Временной ряд- это реализация (траектория) случайной величины, зависящая от времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда.

Выровнять врем.ряд – определить и вычленить (удалить) его неслучайные составляющие, прежде всего, основную тенденцию (тренд)

3 Основных подхода:

• классическая регрессия Y от t для тренда ŷ =f^ (t)

• метод последовательных разностей (для тренда и сезонной составляющей)

• метод скользящего среднего (для сезонной составляющей)

Если временной ряд нестационарен, то нужно вычленить его неслучайную составляющую. Метод обработки временного ряда, целями кот явл устранение случайных колебаний и построение аналитической функции, характеризующей зависимость уравнений ряда от времени – тренда, наз аналитическим выравниванием временного ряда. Расчет параметров тренда производится методом МНК:

Зависимая переменная – фактические уровни ряда

Независимая переменная – время (номер наблюдения)

Для нелинейных трендов необходима процедура линеаризации.

Аналитически выровненный врем.ряд

Или для каждого наблюдения

Именно этот выровненный ряд (если он уже не содержит сезонной составляющей) подвергается дальнейшему исследованию. Прежде всего, строится модель случайной составляющей врем.ряда

Выделение сезонной составляющей часто проводится еще ДО выделения тренда.

Идея выделения сезонной составляющей врем.ряда

Пусть для простоты число наблюдений n кратно сезонному периоду p. Напр., есть квартальные данные за m=5 лет (n=20, p=4, т.е. каждый сезон встречается 5 раз). И пусть тренда (уже) нет – есть только сезонные и случайный компоненты.

Y=S+E

Рассчитываем среднее значение У для каждого сезона

Практически это может сделать при помощи фиктивных переменных (3 переменных для 4-х кварталов). Коэффициент при таком факторе как раз и будет вкладом сезонной компоненты.

Метод последовательных разностей

Пусть

Это, очевидно, ряд нестационарен – у растет со временем t

Перейдем к I-ой последовательной разности.

Имеем

Это уже ряд стационарный – случайные колебания относительно постоянного среднего β

Т.о., взятие первой разности позволяет получить стационарный врем.ряд в случае линейного тренда исходного ряда.

А если тренд квадратичный – у растет со временем в квадрате

Перейдем ко второй последовательности разности

Имеем

И снова это уже ряд стационарный. И т.д.

Эта операция – переход от исходного врем.ряда к ряду последовательных разностей – иногда называется дифференцированием врем.ряда I, II и т.д. порядка, иногда используется для приблизительного определения порядка полинома, подходящего в качестве модели тренда.

Если при некотором порядке разностей их величины становятся примерно одинаковыми, то этот порядок и принимается за нужный порядок полинома

Например, если вторые разности окажутся примерно одинаковыми, то в качестве линии тренда предлагается квадратичная зависимость (парабола)

Метод скользящего среднего

Другим методом выравнивания (сглаживания) врем.ряда, т.е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользящего среднего.

Выбирается интервал усреднения, например, 3, и значение каждого наблюдения заменяется на среднее от значений, попадающих в интервал усреднения

, и т.д.

Каждое значение исходного ряда «участвует в формировании» тоже 3-х значений преобразованного ряда. (№11-1334 начало,1335конец набрать ,сил нет больше)

В результате врем.ряд в буквальном смысле слова выравнивается, резкие случ.выбросы сглаживаются и выявляются неслуч.составляющие (тренд, сезонная и циклическая). Впрочем, подбирая различный интервал усреднения, можно подавить и сезонную составляющую.

Число членов преобразованного врем.яда меньше, чем исходного. Интервал усреднения неразумно брать больше, чем 10 % от n.

Если интервал усреднения – нечетное число, то вычисленное среднее относится к моменту середины интервала. Обычно берут интервал усреднения равный 3 или 5, реже 7.

Разновидности методов скользящего среднего:

-простого скользящего среднего SMA

-взвешенного скользящего среднего WMA

-экспоненциального скользящего среднего EMA