13. Гетероскедастичность. Метод взвешенных наименьших квадратов. Коррекция моделей на гетероскедастичность (3 случая).

Гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений .

Гетероскедастичность – дисперсия объясняемой переменной (а следовательно, и случайных ошибок) не постоянна.

Пусть имеется модель регрессии и дисперсия случайных возмущений зависит от номера наблюдения В случае чистой гетероскедастичности ковариационная матица случайных возмущений имеет диагональный вид , т.е. случайные возмущения имеют разные дисперсии при каждом i и при этом попарно независимы между собой.

1 случай: Разные дисперсии известны , поделим их на каждое i-ое уравнение ;обозначим (*), т.о. . Для новой модели дисперсия случ. возмущений уже не зависит от номера наблюдения Var . Действительно, и теперь можно применять теорему Г-М. В новой модели нет свободного члена, а теперь служит коэф. при добавленном искус. факторе . В новой модели (*), отсюда модель называется взвешенной, так как в ней каждое i-е наблюдение умножается на При этом мы автоматически придаём наибольший вес наиболее точным наблюдениям, т.е. наблюдениям с наименьшей дисперсией . В этом случае можно сказать, что взвешенный МНК – это обобщённый МНК, применимый к модели с гетероскедастичностью, т.е. определение оценок коэф. регрессии по формуле: В= , когда ковар. матрица случ. возмущений является диагональной

2 случай: Разные дисперсии не известны (предположим, что они пропорциональны одному из показателей, например, z. . Делим теперь на : .Теперь .Модель можно записать Можно показать, что дисперсия случ. возмущений уже не зависит от номера наблюдения. Действительно, если , то .Можно применить теорему Г-М.

3 случай: Разные дисперсии не известны . Предположим, что все наблюдения можно поделить на две части: первые m и последние n-m, и в каждой части наблюдений дисперсия случ. возмущений постоянна. Строим общ. модель обычным МНК и, получив остатки , определим оценки дисперсий для каждой части отдельно и . Корректируем обе части наблюдений, деля на свою дисперсию.

14. Описание тестов проверки на гетероскедастичность (тесты Голдфельда-Куандта, Бреуша-Пагана).

ТЕСТ G-Q

Этот тест применяется, как правило, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибок от величины некоторой объясняющей переменной, входящей в модель ( , модель гомоскедастична).

Предполагается, что имеет нормальное распределение. Тест включает в себя следующие шаги:

1. Упорядочить данные по убыванию (или по возрастанию) той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.

2. Исключить средних (в этом упорядочении) наблюдений ( , где – общее количество наблюдений).

3. Провести две независимых регрессии первых наблюдений и последних наблюдений и найти, соответственно, и . Из и выбираем большую и меньшую величины, соответственно, и .

4. Вычислить F-статистику и найти по распределению Фишера .

6. Если , то гипотеза отвергается, т.е. модель гетероскедастична. Если , то гипотеза принимается, т.е. модель гомоскедастична.

ТЕСТ B-P.

Данный тест применялся для проверки гипотезы о зависимости дисперсий случайных величин от некоторой дополнительных переменной, не включенной в модель ( , модель гомоскедастична). Тест состоит в следующем:

1. Повести обычную линейную регрессию и получить остатки .

2. Построить оценку и вычислить значения , .

3. Провести регрессию и найти для нее объясненную часть вариации .

4. Построить статистику .

5. Определить - критическую точку распределения Хи-квадрат при выбранном уровне значимости ( ), где p – число переменных, от которых зависит .

6. Если , то имеет место гетероскедастичность. Если , то гомоскедастичность.

ТЕСТ УАЙТА.

Данный тест применяется, когда предполагается, что дисперсии ошибок представляет собой одну и ту же функцию от наблюдений значений независимых переменных. Чаще всего – квадратичную. Тест состоит в следующем:

1. Провести обычную регрессию и получить остатки (на множестве исходных независимых переменных). Вычислить квадраты этих остатков и приписать к матрице данных.

2. Приписать к матрице данных квадраты исходных независимых переменных (и, возможно, их попарные произведения).

3. Построить вторую регрессию квадратов остатков от расширенного множества регрессоров (исходных факторов и их квадратов).

4. Для проверки гипотезы гомоскедастичности использовать значимость в целом уравнения второй регрессии: если уравнение второй регрессии в целом значимо, то гипотеза гомоскедастичности отвергается.