2.2. Скорости перемещений и скорости деформаций
В процессе деформации материальные точки деформируемого тела находятся в движении таким образом, что расстояние между ними изменяется, что обусловливает появление деформации. Чем быстрее изменяется расстояние между точками тела, тем больше скорость деформации.
Скорости
перемещений точек обозначим буквой
и
с точкой сверху, т.е.
с обычными индексами направлений и
адресов. Скорости перемещений, как и
сами перемещения, являются непрерывными
функциями координат и времени. Так,
например, линейные скорости перемещений
определяются уравнениями
(2.12)
Если деформации малые, то компоненты скоростей перемещений можно выразить частными производными по времени t от соответствующих компонент перемещений
(2.13)
Если рассматривать две точки, весьма близкие одна к другой, то скорости деформации по какому-либо направлению можно определить как предел отношения разностей скоростей указанных точек к расстоянию между ними, если величины последнего стремятся к нулю. Скорости деформаций обозначим теми же буквами, что и деформации, но с точкой сверху.
Тогда, например,
и
;
или, учитывая уравнения (2.13) и (2.2), получим
;
.
Аналогично можно определить все остальные компоненты скорости деформации:
скорости относительных удлинений
(2.14)
скорости относительных сдвигов
(2.14)
Таким образом, компоненты скорости деформации равны производным скоростей перемещений по соответствующей координате, а также производным компонент деформации по времени.
Компоненты скорости деформации, так же как и компоненты деформации, образуют тензор компонент деформации
. (2.15)
При пластической деформации объем тела не изменяется и тензор скоростей деформации является девиатором, а следовательно,
. (2.16)
Для скоростей деформации, так же как и для деформаций, можно определить главные оси скоростей деформации, в направлении которых наблюдаются главные скорости линейных деформаций (относительных удлинений), а скорости сдвигов отсутствуют.
По
формулам, аналогичным соответствующим
формулам теории деформации, можно найти
главные скорости сдвига
,
и
,
скорость октаэдрического сдвига
,
интенсивность скорости сдвига
,
и интенсивность скоростей деформации
.
Для скоростей деформации можно построить диаграммы скоростей деформации Мора (круги).
Линии тока представляют собой кривые, касательные к которым в каждой точке параллельны вектору скорости перемещения материальной точки, совпадающей с данной точкой. Для стационарного движения линии тока совпадают с траекториями движения.
2.3. Однородная деформация
Из уравнений (2.2), компоненты малой деформации элементарного параллелепипеда, т.е. малые деформации в окрестностях данной материальной точки деформируемого тела, являются линейными функциями от производных перемещений по координатам. В свою очередь, если рассматривается бесконечно малая окрестность точки, то сами перемещения следует считать линейными функциями координат, а следовательно, их производные, выражающие деформации, являются постоянными.
Деформация, характеризующаяся тем, что перемещения являются линейными функциями координат и величины относительных деформаций постоянны, называется однородной деформацией.
Малая деформация элементарного объема всегда считается однородной. Но и в конечном объеме можно считать деформацию однородной, например, при равномерном растяжении, а также в ряде случаев в порядке упрощающей предпосылки при решении практических задач.
Однородная деформация характеризуется рядом достаточно очевидных особенностей. Плоскости и прямые линии остаются плоскостями и прямыми после деформации. Параллельные прямые и параллельные плоскости остаются параллельными после деформации. Сфера, мысленно выделенная внутри тела, превращается в эллипсоид. Два геометрически подобных и подобно расположенных элемента тела и после искажения при однородной деформации остаются геометрически подобными.