1.10. Осесимметричное напряженное состояние

Одним из частных случаев объемного напряженного состояния, часто встречающимся при обработке металлов давлением, является осесимметричное напряженное состояние.

Под этим видом напряженного состояния подразумевается напряженное состояние тела вращения, к поверхности или части поверхности которого приложены распределенные нагрузки, расположенные симметрично относительно его оси и одинаковые во всех меридиональных сечениях (рис. 1.10). Примерами могут служить осадка цилиндрической заготовки, ее прошивка, выдавливание (прессование), волочение и др.

Рисунок 1.10.	Рисунок 1.11.

При рассмотрении осесимметричного напряженного состояния весьма удобно пользоваться взамен декартовых цилиндрическими координатами, в которых положение любой точки А определяется радиусом-вектором , полярным углом , отсчитываемым от оси , и аппликатой z, как представлено на рис. 1.11, где а – проекция точки А на плоскость, перпендикулярную к оси z, проходящую через точку О. Обозначения напряжений в цилиндрических координатах и форма элемента показаны на рис. 1.12. Тензор напряжений в цилиндрических координатах запишется так:

.

Напряжение называют радиальным, – тангенциальным, а – осевым.

Рисунок 1.12.

При осесимметричном напряженном состоянии компоненты напряжений не зависят от координаты , и, следовательно, все производные по этой координате в дифференциальных уравнениях равновесия обратятся в нуль. Кроме того, в меридиональных плоскостях (плоскостях, проходящих через ось z, т.е. плоскостях ) не могут возникнуть касательные напряжения вследствие симметричности тела и симметрии внешней нагрузки.

Поэтому с учетом закона парности касательных напряжений . Следовательно, напряжение всегда будет главным, т.е. , а ось  может иметь любое направление в плоскости z (т.е. в плоскости, нормальной к оси z).

Таким образом, компоненты напряжений при осесимметричном напряженном состоянии можно записать так:

.

Всего будет три нормальных и два равных между собой касательных напряжения.

2. Малые деформации и скорости деформаций

2.1. Компоненты перемещений и деформаций в элементарном объеме

При обработке давлением металл получает остаточные деформации значительной величины. Тем не менее необходимо знание основных положений и соответствующих дифференциальных зависимостей, относящихся к малым деформациям, так как всякий процесс пластической деформации часто можно и удобно рассматривать в каждый данный момент его протекания.

Если тело деформируется, то каждая его точка смещается от своего первоначального положения. При этом подразумевается, что тело находится в равновесии и не имеет возможности перемещаться как целое. Таким образом, считается, что перемещение каждой точки происходит исключительно вследствие деформации (т.е. жесткое перемещение отсутствует).

Пусть координаты точки в начальный момент х, у, z, а в данный момент деформации (близкий к начальному) х', у', z', тогда

;

;

,

т.е.

(2.1)

представляют собой проекции перемещения на координатные оси, т.е. являются компонентами перемещения точки.

Для различных точек тела компоненты перемещения различны, и они и их производные являются непрерывными функциями координат.

Элементарный прямоугольный параллелепипед, мысленно выделенный в теле, при деформации последнего, изменит не только свое положение, но и свою форму. В общем случае ребра параллелепипеда изменят длину, а углы перестанут быть прямыми. Получим деформации двух видов: линейные (удлинения) и угловые (сдвиги). При этом, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, можно считать, что угловые деформации (сдвиги) (при малой деформации элементарного объема) не влияют на линейные размеры.

Относительные линейные деформации обозначим ε с индексами, подобными принятым для напряжений σ. Относительные сдвиги обозначим γ с двумя индексами, как у напряжений τ, указывая этими индексами координатную плоскость, на которую проецируется искажаемый деформацией угол. При этом относительные сдвиги считаются положительными, если им соответствует уменьшение угла со сторонами, направленными в положительном направлении координатных осей. Сказанное поясняет рис. 2.1.

Рисунок 2.1.

Из изложенного следует, что компонент деформаций шесть:

.

Выразим теперь компоненты деформации через компоненты перемещения. Выделим для этого в какой-либо точке М деформируемого тела элементарный параллелепипед с бесконечно малыми ребрами dx, dy и dz, параллельными осям координат, так, чтобы одна из вершин его совпадала с точкой М.

Пусть (рис. 2.2) abсd – проекция этого элементарного параллелепипеда на плоскость ху до деформации, причем точка а является проекцией точки М.

Рисунок 2.2.

После деформации точки а, b, с, d получили перемещения. Точка а перешла в а', b – в b', с – с', d – в d'. Выразим перемещения точек b и с через перемещения точки а. Точка а получила перемещения и , которые являются функциями координат точки М, проекцией которой служит точка а; ; . Точка b расположена на бесконечно малом расстоянии dx от точки а в направлении оси х. Поэтому перемещение точки b по направлению оси х

,

но, пренебрегая членами высших порядков, можно считать, что перемещение точки b в направлении оси х отличается от перемещения точки а на величину приращения функции на длине dx по координате х. Тогда

;

отсюда относительное удлинение ребра ab длиной dx, т.е. относительная деформация ε в направлении х,

.

Аналогично получим

;

,

а также

; .

Перейдем к определению угловых деформаций.

Так как изменения углов бесконечно малые, то и , поэтому (рис. 2.2)

.

Подставляя полученные значения и , получим

.

Так как и значительно меньше единицы, то

.

Тем же способом получим

и, наконец,

.

Проецируя рассматриваемый параллелепипед на плоскости yz и zx, найдем выражения других компонент деформации. В итоге получим:

(2.2)

Эти уравнения получил О. Л. Коши.

Выражения относительных сдвигов γ получены как значения суммы двух углов, например, для сдвига (рис. 2.1 и 2.2) как сумма угла поворота ( ) ребра ab, параллельного оси х, в направлении оси у, и угла поворота ( ) ребра ас, параллельного оси у, в направлении оси х.

В отношении результатов деформации (искажения) формы совершенно безразлично, какие будут относительные значения углов и , лишь бы их сумма оставалась постоянной, равной . Это дает возможность каждую компоненту сдвиговой деформации представить в виде двух, рассматривая половины значений γ и принимая индексы аналогично тому, как это было сделано для углов α. Например, вместо относительного сдвига взять и , причем . Индексация при этом будет совпадать с индексацией напряжений τ, и деформации можно записать так же, как записаны напряжения в уравнениях (1.12), (1.12а):

(2.3)

или, учитывая равенство компонент, расположенных симметрично относительно главной диагонали,

(2.3а)

является тензором деформаций, обладающим такими же свойствами, как и тензор напряжений (1.12). Он полностью определяет деформированное состояние точки, имеет такие же инварианты, как тензор напряжений, и его также можно разложить на шаровой тензор деформаций и девиатор деформаций. Первый в общем случае упругой деформации выражает изменение объема (объемную деформацию), второй – изменение формы (девиаторную деформацию).

При пластической деформации объем тела не изменяется и сумма малых деформаций , следовательно, и . Поэтому при пластической деформации шаровой тензор деформации равен нулю и тензор деформации является девиатором.

Для осесимметричного напряженно-деформированного состояния в цилиндрических координатах запишем выражения деформаций без вывода:

(2.4)

Для деформаций, так же как и для напряжений, всегда можно найти главные оси деформаций, в направлении которых возникают главные линейные деформации (главные удлинения) , и , а сдвиги γ отсутствуют. Вообще все необходимые формулы теории деформаций можно записать по аналогии с соответствующими формулами теории напряжений. Так, в площадках, параллельных одной координатной плоскости и составляющих одинаковые углы 45° с каждой из двух других, возникают наибольшие (главные) сдвиги , и определяемые через главные линейные деформации:

; и (2.5)

Главные сдвиги связаны между собой выражением

. (2.6)

В площадках, равнонаклоненных к осям координат (октаэдрических), возникают октаэдрические деформации.

Линейная октаэдрическая деформация является средней деформацией

. (2.7)

При пластическом деформировании, когда объем тела остается постоянным,

. (2.8)

Октаэдрическая деформация сдвига или октаэдрический сдвиг определяется формулой

. (2.9)

Кроме того, в теории пластических деформаций находят применение положительные скалярные величины, интенсивность деформаций сдвига и интенсивность деформаций . Эти величины выражаются следующими формулами:

; (2.10)

. (2.11)

Величины , и отличаются одна от другой лишь постоянным множителем.

Главные линейные деформации связаны между собой следующими соотношениями:

для плоского деформированного состояния

и ;

для линейного растяжения и сжатия

где – наибольшая по абсолютной величине главная деформация. Если эти выражения подставить в формулы (2.9), (2.10), (2.11), то можно убедиться, что величина октаэдрической деформации сдвига колеблется в пределах 0,816–0,941 от максимального главного сдвига.