Напряжённое и деформированное состояние. Теория пластичности.

При обработке давлением положение частиц деформированного тела изменяется под действием инструмента. В ответ на эти изменения между частицами возникают внутренние силы, и тело переходит в напряжённое состояние.

Напряжённое состояние – это состояние тела находящегося под действием уравновешивающих внешних сил, при упругом равновесии или движении его частиц. Т.е. если к телу приложены внешние нагрузки и создано препятствию его свободному движению, то тело находится в напряжённом состоянии.

1.Напряжения

1.1. Общие понятия

Тело, подвергающееся действию сил, находится в напряженном состоянии. Внешние силы, действующие на тело, бывают двух основных видов: поверхностные и объемные (массовые).

К поверхностным силам относят силы, приложенные к поверхности тела. Они могут быть сосредоточенными и распределенными.

К объемным силам относят силы, действующие на все материальные точки тела и пропорциональные их массам, например силы тяжести, силы инерции и др. В дальнейшем дей­ствие объемных сил рассматривать не будем.

При изучении напряженного состояния принимаем, что тело однородно, изотропно и представляет собой систему непрерывных материальных точек. Если система точек находится в равновесии, то принимается, что внешние силы уравновешиваются так, как если бы система отвердела. Это так называемый принцип отвердения.

При упругом состоянии равновесие может существовать при разных соотношениях внешних сил.

При пластическом равновесии соотношения и величины сил должны быть вполне определенны.

Под действием внешних сил в теле возникают внутренние усилия. Предел отношения внутреннего усилия ΔР, действующего на какую-либо элементарную площадку, выделенную в рассма­триваемой точке тела, к ее площади ΔF при неограниченном уменьшении последней называется напряжением S:

.

Каждая точка в напряженном теле находится под действием всех ее окружающих точек, а поэтому в любой плоскости, прове­денной через данную точку, на нее будет действовать напряжение, характеризуемое определенной величиной и направлением.

Полное напряжение по правилу параллелепипеда всегда можно разложить на три: одно нормальное и два касательных. В равной мере полное напряжение можно разложить на три по направлениям осей координат.

1.2. Напряжения в координатных площадках

Проведем через напряженную точку А (рис. 1) три плоско­сти, параллельные плоскостям координат. Для того чтобы иметь возможность обозначить на чертеже напряжения, действующие на точку в этих плоскостях, построим параллелепипед, ребра которого примем бесконечно малыми, неограниченно приближающимися к точке. Тогда на гранях такого элементарного параллелепипеда, проходящих через точку А, можно изобразить векторы напряжений, действующих на точку в трех взаимно перпендикулярных плоскостях (координатных площадках). При этом напряжение в каждой площадке разложим на три: одно нормальное и два касательных, которые направим параллельно осям координат. Таким образом, всего получим три нормальных и шесть касательных напряжений.

Нормальные напряжения в координатных площадках обозна­чим σ, касательные τ. Примем индексы из двух букв. Первая буква будет указывать ту координатную ось, по направлению которой действует напряжение, а вторая – ту координатную ось, которая нормальна (перпендикулярна) той площадке (внешняя нормаль), к которой напряжение приложено (адрес напря­жения). Например, τ_ху – касательное напряжение, действующее параллельно оси х на площадку, перпендикулярную к оси у, т.е. на площадку, параллельную плоскости хz. Поскольку для нормальных напряжений направление и адрес совпадают, при­меним для их обозначения индекс из одной буквы, например σ_х, вместо σ_хх.

Напряжения, действующие в точке по площадкам, параллель­ным плоскостям координат, геометрически изображены на рис. 1.1 стрелками.

Рисунок 1.1.

Нормальные напряжения считают положительными, если они стремятся вызвать растяжение.

Знак касательных напряжений зависит от знака и направления нормального напряжения в рассматриваемой грани элементарного параллелепипеда.

Касательные напряжения, направления которых совпадают с положительными направлениями координатных осей, считают положительными при условии, если направление растягивающего нормального напряжения по той же координатной площадке совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси (или если сжимающее нормальное напряжение направлено по отрицательному направлению координатной оси).

Если направления нормальных напряжений противоположны указанным, то касательные напряжения следует считать положительными, когда их направления совпадают с отрицательными направлениями соответствующих координатных осей.

На рис. 1.1 все напряжения являются положительными. Запишем напряжения в точке по трем координатным площадкам в форме матрицы

(1.1)

В каждой горизонтальной строчке записаны напряжения одного направления в последовательности адресов х, у и z. В каждом вертикальном столбике записаны напряжения одного адреса в последовательности направлений х, у, z.

В трех взаимно перпендикулярных площадках можно представить девять напряжений: три нормальных и шесть касательных. Однако вследствие парности касательных напряжений различные значения могут быть только у шести напряжений: трех нормальных и трех касательных, так как

и (1.2)

(касательные напряжения с индексами из двух одинаковых букв равны между собой независимо от порядка расположения букв в индексе).

Если учесть равенства (1.2), то легко установить, что каса­тельные напряжения, расположенные в матрице симметрично относительно главной диагонали, попарно равны между собой. Учитывая это, матрицу можно переписать сокращенно

. (1.1а)

Указания направления и адреса в индексах касательных напряжений можно было бы поменять местами, т.е. первый индекс считать за указание адреса, второй – за указание направления. Все выводимые далее выражения и формулы при такой перестановке индексов останутся без изменения. Такое заключение можно, например, сделать на основании равенств (1.2).