1.3. Напряжения в наклонной площадке

Докажем, что если заданы напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку, то ее напряженное состояние вполне определено. Проведем плоскость наклонно к осям координат (рис. 1.2). В результате получим фигуру тетраэдра Оаbс, сливающегося с точкой О при бесконечном убывании величины его граней. Пусть N – нормаль к наклонной грани тетраэдра. Положение ее определится направляющими косинусами

Пусть площадь наклонной грани будет ΔF а площади остальных граней, т.е. треугольников ОВС, ОАС и ОАВ, соответственно ΔF_X, ΔF_у и ΔF_Z. Считаем, что на наклонную грань действует какое-то напряжение S (полное). Напряжения по координатным площадкам также даны. Проекции напряжения S на направления осей координат, или, что то же, компоненты напряжения S по осям координат, обозначаем S_X, S_у и S_Z.

Рисунок 1.2.

Тетраэдр должен находиться в равновесии. Пишем условия равновесия, проецируя все действующие по его граням силы на оси координат:

Но

Поэтому

(1.3)

Суммируя компоненты напряжения S по правилу параллелепипеда, легко получить и само полное напряжение S:

. (1.4)

Нормальное напряжение в наклонной площадке σ_н определится как сумма проекций компонент S_х, S_y, S_z на нормаль к площадке:

, (1.5)

а подставляя значения из уравнения (3), получим

. (1.5а)

Полное касательное напряжение в наклонной площадке τ найдем по правилу параллелограмма:

. (1.6)

По полученным формулам можно определить напряжение в любой наклонной площадке. Таким образом, если даны шесть напряжений, действующих в точке по трем взаимно перпендикулярным площадкам, то ее напряженное состояние вполне определено.

1.4. Главные нормальные напряжения

Исследуем выражение (1.5а) для σ_н.

. (1.5а)

Отложим от начала координат по направлению нормали N (рис. 1.2) к ка­кой-нибудь наклонной площадке некоторый вектор r, величина которого определяется выражением

,

т.е. примем

,

где А – некоторая произвольная постоянная, определяющая масштаб.

Координаты конца вектора запишутся

,

а следовательно,

.

Подставляя эти значения а в уравнение (1.5а) и сокращая на r, получим

. (1.7)

Из аналитической геометрии известно, что полученное уравнение представляет собой поверхность второго порядка, отнесенную центру (отсутствуют х, у, z в первой степени).

С изменением положения наклонной площадки изменятся направление и координаты х, у, z конца вектора r, но конец его всегда будет лежать на поверхности, определяемой уравнением (1.7). Отсюда следует, что эта поверхность полностью определяется напряженным состоянием точки. Она носит название поверхности напряжений Коши.

При изменении положения координатных осей, т.е. при отнесении указанной поверхности к другим координатным осям, сама поверхность останется неизменной, а изменятся лишь коэффициенты уравнения, т.е. величины напряжений в координатных площадках, поскольку эти площадки станут другими.

Из аналитической геометрии известно, что если поверхность второго порядка отнести не только к центру, но и к сопряженным диаметрам, т. е. к осям, то коэффициенты при произведениях координат обратятся в нуль. Так же можно поступить и с поверхностью, определяемой уравнением (1.7). А это значит, что через точку, находящуюся в напряженном состоянии, всегда можно провести такие три взаимно перпендикулярные плоскости, в которых касательных напряжений не будет и останутся только три нормальных напряжения. Эти три напряжения называют главными нормальными напряжениями, их направления – главными и плоскости, на которых они действуют, – главными плоскостями. Таким образом, если оси координат выбраны параллельно главным направлениям (главные оси), то в соответствующих координатных плоскостях (главных) действуют только нормальные напряжения – главные.

Отсюда следует, что напряженное состояние точки вполне определяется, если даны направления трех главных осей и вели­чины трех главных нормальных напряжений, которые обозна­чим индексами 1, 2, 3 вместо индексов х, у, z: σ₁, σ₂, σ₃.

Такими же индексами 1, 2, 3 будем в дальнейшем отмечать и главные оси, а также направляющие косинусы площадок, наклонных к этим осям, и соответствующие углы α.

Если напряженное состояние точки задано главными напря­жениями, то напряжения в наклонных площадках выразятся на основании формул (1.3), (1.4), (1.5) и (1.6) весьма просто. Компоненты по осям координат

. (1.8)

Полное напряжение

. (1.9)

Нормальное напряжение

. (1.10)

Касательное напряжение

. (1.11)