3.2. Физический смысл условия пластичности
Выясним физический смысл условия пластичности, пользуясь уравнением (3.3). Для этого обратимся к потенциальной энергии деформации.
Полная
потенциальная энергия деформации
представляет собой сумму потенциальной
энергии изменения объема
и потенциальной энергии изменения формы
:
,
откуда
.
Из теории упругости известно, что удельная потенциальная энергия деформации (т.е. отнесенная к единице объема) равна половине скалярного произведения тензора напряжений на тензор деформаций. Это произведение представляет собой сумму произведений компонент напряжений на компоненты соответствующих деформаций. В главных осях имеем
и
;
отсюда
.
Из сопротивления материалов известно, что
где
– коэффициент Пуассона.
Значит,
.
Удельная потенциальная энергия изменения объема определится тем же способом, но за исходные данные необходимо взять шаровой тензор напряжений и шаровой тензор деформаций
и
;
отсюда
,
но
,
а
,
или, пользуясь выражениями деформации, приведенными выше, получим
;
следовательно
.
Удельная потенциальная энергия изменения формы
Окончательно получим
. (3.4)
Сопоставляя уравнения (3.4) и (3.2), можно установить, что при выполнении условия пластичности
. (3.5)
Таким образом, рассматриваемое условие пластичности равносильно утверждению, что количество удельной потенциальной энергии упругой деформации формы элемента металлического тела при его пластической деформации является для данных условий деформации (степени, скорости и температуры деформации) величиной постоянной независимо от схемы напряженного состояния.
Если взять это положение за основу, то можно получить из него условие пластичности согласно уравнению (3.2).
Известно,
что при линейном растяжении
,
а пластическое состояние наступит, если
напряжение
станет равным напряжению текучести
.
Подставляя эти значения напряжении в
уравнение (3.4), получим величину удельной
потенциальной энергии упругой деформации
формы в момент начала пластической
деформации при линейном растяжении:
. (3.6)
Так
как по приведенному принципу величина
не зависит от схемы напряженного
состояния, то правые части выражений
(3.6) и (3.4) должны быть равны, т.е.
,
откуда
,
т е. мы получили условие пластичности (3.2).
Физический смысл условия пластичности Губера-Мизеса был установлен Г. Генки в 1924 г. В связи с этим физическим смыслом условию пластичности, приведенному выше в различных формах, дано название «энергетическое».
Таким образом, условие пластичности Губера-Мизеса, представленное формулами (3.1)–(3.3), носит в литературе несколько наименований:
условие постоянства интенсивности напряжений;
условие постоянства октаэдрического касательного напряжения;
условие постоянства интенсивности касательных напряжений;
условие постоянства удельной энергии изменения формы или энергетическое условие.
В дальнейшем будем в основном пользоваться термином «энергетическое условие» как наиболее кратким.
Наиболее ранняя экспериментальная проверка энергетического условия пластичности была проведена А. Надаи и В. Лодэ (1926 г.). В дальнейшем этому вопросу был посвящен ряд исследований, которые также подтверждают энергетическое условие пластичности.