3.3. Частные выражения условия пластичности

Для плоского напряженного состояния было принято

.

Подставляя эти значения в условие пластичности в компонентах тензора напряжений в

получим

или

(3.7)

а в главных напряжениях ( )

;

это выражение (3.7) получено ранее.

При плоском деформированном состоянии

; ;

следовательно

;

раскрывая скобки и преобразовывая, получим

. (3.8)

Из сравнения выражений, определяющих октаэдрическое касательное напряжение и интенсивность касательных напряжений, с выражением (3.1) следует, что условие пластичности можно написать также и в следующих формах:

; (3.9)

; (3.9а)

т.е. при пластическом состоянии и октаэдрическое касательное напряжение , и интенсивность касательных напряжений , так же как , имеют вполне определенную величину.

Правую часть выражения (3.9а) обычно обозначают одной буквой , откуда , где . Величину часто называют постоянной пластичности.

Обозначим дополнительно

,

и, следовательно,

или .

Учтя эти обозначения из формулы (3.8), получим

(3.10)

В главных напряжениях для плоского деформированного состояния имеем

, (3.11)

но есть удвоенное главное касательное напряжение, следовательно,

. (3.11а)

Таким образом, есть максимальная величина, которой может достичь главное касательное напряжение при пластической деформации.

3.4. Влияние среднего по величине главного нормального напряжения

Пусть главное нормальное напряжение имеет величину про­межуточную между и , т.е. удовлетворяется какое-либо из двух неравенств

или . (3.12)

Такое по величине напряжение будем называть средним главным и обозначим не следует смешивать со средним нормальным напряжением . Напряжения и в этом случае будут крайними (одно из них максимальное, другое минимальное). Для установления, какое из напряжений является средним главным, надо учитывать знаки напряжений, а не только их абсолютную величину: положительное напряжение считается большим вне зависимости от абсолютной величины отрицательного напряжения; отрицательное напряжение с меньшей абсолютной величиной больше отрицательного с большей абсолютной величиной, т.е. рассматривается алгебраическая величина напряжения.

Возьмем случай, когда ; тогда из условия пластичности (3.2) получим

,

откуда

или . (3.13)

Знаки ± поставлены потому, что считается существенно положительным, а разность согласно условию (3.12) может иметь любой знак.

Пусть теперь . Тогда, подставляя в уравнение (3.2), имеем

или ,

т. е. опять получили выражение (3.13), что и в предыдущем случае. Эти зависимости словесно можно сформулировать так.

При среднем главном нормальном напряжении, равном одному из крайних, пластическое состояние наступает, если разность крайних главных нормальных напряжений равна напряжению текучести или если соответствующее главное касательное напряжение равно половине напряжения текучести.

Среднее главное нормальное напряжение может изменяться лишь в пределах между и (в противном случае оно само станет крайним, а какое-то другое – промежуточным). Возьмем теперь среднее значение :

.

В таком случае напряжение не только удовлетворяет неравенству (3.13), но и является средним нормальным напряжением вообще:

,

а деформированное состояние – плоским. Подставляя это значение в условие пластичности (3.2), получим

,

и, наконец, как и раньше (3.11),

.

Из сравнения выражений (3.13) и (3.11) следует, что для любого значения можно написать

(3.14)

или

, (3.14a)

где β – переменный коэффициент, изменяющийся в незначительных пределах от 1 до и достигающий наибольшей величины при плоском деформированном состоянии.

Уравнение (3.14) является упрощенной записью условия пластичности. Им можно пользоваться при рассмотрении объемного напряженного состояния как приближенным, но более простым, чем условие (3.2). Выражая же разность главных нормальных напряжений через главное касательное напряжение, получим

. (3.14б)

Поскольку напряжения , и равноправны, постольку можно написать неравенства (3.12) при любых других комбинациях индексов, что не повлияет на сделанные выводы.

При решении же конкретных задач необходимо выбирать индексы, соответствующие условиям задачи, т.е. выяснять, какое главное нормальное напряжение является средним и какие – крайними.

Упрощенной записью условия пластичности можно пользоваться и при рассмотрении задач на плоское напряженное состояние. Но здесь надо учитывать напряжение , которое может быть и крайним, и средним. Если напряжения и имеют разные знаки, т.е. , то напряжение является средним. Если же и положительны ( ), то минимальное; если и отрицательны ( ), то максимальное, или вообще, если , то будет крайним.

Учитывая сказанное, для плоского напряженного состояния на основании уравнения (3.14) получим

(3.15)

Коэффициент β является функцией главных нормальных напряжений .

Его можно выразить аналитически. Для этого вернемся к диаграмме Мора (см. рис. 1.7). Точка В на этой диаграмме в зависимости от величины среднего главного напряжения может перемещаться в пределах диаметра большого круга между точками А и С. Выразим ее относительное расстояние от центра этого круга в форме

.

При этом отрезок считаем положительным, если он направлен от точки . На рассматриваемом чертеже он отрицательный. Учитывая это, можно написать

(3.16)

или

. (3.16а)

При (т.е. при ) , а при (т.е. при ) ; наконец, при (т.е. при ) .

Таким образом, изменяется в пределах от -1 до 1.

Из уравнения (3.16) можно определить :

.

Подставляя это значение в условие пластичности (3.2) и производя необходимые преобразования, получим

.

Сравнивая полученное выражение с условием пластичности (3.14), можно усмотреть, что

. (3.17)

График изменения β показан на рис. 3.2. Он представляет собой участок параболы. Этот теоретический график отвечает экспериментальным данным В. Лодэ.

Рисунок 3.2.

Величина определяется соотношениями между главными нормальными напряжениями и поэтому характеризует пластическое состояние точки, точнее, девиатор напряжений, поскольку не зависит от шарового тензора (гидростатического давления).

Если для всех случаев β=1 (т.е. не учитывать влияние среднего главного нормального напряжения), то условие пластичности для общего случая выразится так:

; ; (3.18)

или

; ; . (3.18а)

Такое условие пластичности можно сформулировать следующим образом:

пластическое состояние наступает и поддерживается, если одна из разностей двух главных нормальных напряжений становится равной напряжению текучести вне зависимости от значений двух других, т.е. независимо от величины среднего главного напряжения.

Иначе можно сказать так:

пластическое состояние наступает, если какое-либо одно из главных касательных напряжений достигает величины половины напряжения текучести.

Это условие пластичности носит название условия постоянства главного касательного напряжения или условия постоянства разности главных нормальных напряжений. Оно было высказано Г. Треска и разработано Б. Сен-Венаном значительно раньше, чем было сформулировано более точное энергетическое условие пластичности.

Условие постоянства главных касательных напряжений и условие постоянства интенсивности касательных напряжений совпадают:

1. при линейном напряженном состоянии;

2. при объемном напряженном состоянии, когда среднее главное напряжение равно одному из крайних, т.е. два из трех главных нормальных напряжений равны между собой (по величине и знаку);

3. при плоском напряженном состоянии, когда оба напряжения, отличные от нуля, равны (по величине и знаку, как всегда, когда идет речь о равенстве напряжений).

Максимальная разница между двумя указанными условиями возникает при плоском деформированном состоянии, т.е. когда среднее главное нормальное напряжение равно полусумме крайних.

Предельная поверхность по условию постоянства главных касательных напряжений имеет вид правильной шестигранной призмы, вписанной в цилиндр, представляющий собой предельную поверхность пластической деформации по энергетическому условию.

Если для плоского деформированного состояния подставить в какое-либо из уравнений (3.18), то получим условие пластичности по принципу постоянства главных касательных напряжений для любых осей

. (3.19)

Сравнивая уравнения (3.18) и (3.19) соответственно с уравнениями (3.10) и (3.11), легко обнаружить, что условие постоянства главных касательных напряжений и условие постоянства интенсивности касательных напряжений отличаются для плоского деформированного состояния только постоянными ( и ) в правых частях уравнений.