1.7. Методи дослідження режимів роботи та якості нелінійних систем

Вище зазначалось, що однією з особливостей нелінійних систем є виникнення автоколивань, які на відміну від лінійних систем є робочим режимом і можуть підтримуватись як завгодно довго, наприклад, в нелінійних системах з релейним елементом. Таким чином, автоколивання є внутрішньою (власною) властивістю системи, тому виникає задача визначення частоти та амплітуди автоколивань, що дає можливість оцінити їх якість.

Одним з методів дослідження автоколивань є метод гармонійного балансу, заснований на методі гармонійної лінеаризації. Наприклад, коли розглядаються автоколивання у вигляді:

(1.31)

тобто без постійної складової, тобто для нелінійної ланки з непарною характеристикою і без зовнішнього збурення, яке спричиняє х₀. То після гармонійної лінеаризації можна отримати лінійну ланку для якої

(1.32)

Значення W_нл(р) залежить від коефіцієнтів гармонійної лінеаризації, які в свою чергу залежать від амплітуди А та частоти автоколивань, тобто . Для типових нелінійностей існують готові формули для коефіцієнтів.

Для розімкненої системи з нелінійністю можна записати вираз:

(1.33)

тобто цим підкреслюється, що передаточна функція нелінійного елемента залежить від амплітуди х_нmax та частоти . При постійній амплітуді х_нmax=А=const та частоті = =const для системи, яка описується виразом (1.33), можна застосувати методи лінійної теорії керування. Для лінеаризованої системи існування автоколивань відповідає знаходження її на межі стійкості, тому для дослідження автоколивань зручно використовувати частотні критерії Найквіста та Михайлова. За критерієм Найквіста умовою знаходження системи на межі стійкості є:

(1.34)

звідки:

(1.35)

Рівняння (1.35) зручно розв’язувати графічно (рис.1.19), де визначаються точки перетину годографів і . Ці точки свідчать про існування автоколивань, крім того з в точці М₁ або М₂ визначається частота, а з - амплітуда автоколивань. За графіками, показаними на рис.1.19, можна зробити також висновок щодо стійкості автоколивань: в т.М₂ – стійкі, в т.М₁ – нестійкі.

Рис.1.19. Визначення параметрів автоколивань

Аналіз властивостей НЛС, зокрема параметрів автоколивань, здійснюється також за допомогою точкових перетворень (рис.1.20).

Рис.1.20. Метод точкових перетворень

Початкове положення зображаючої точки М₀ обирається на додатній півосі х₁. Після одного оберту точка може попасти в різні місця. Знаходять функцію х₁₁=f(x₁₀), тоді можна зробити висновки: при х₁₁<x₁₀ – процес збіжний, при х₁₁=x₁₀ – граничний цикл (автоколивання), х₁₁>x₁₀ – розбіжний процес. На рис.1.20,б розбіжний процес відповідає відрізкові між т.1 і т.2. Різні стани НЛС демонструє рис.1.20,в: 1- відповідає рис.1.20,б; 2 – в НЛС можливі автоколивання; 3 – НЛС стійка в цілому.

При дослідженні стаціонарних режимів НЛС під дією детермінованих сигналів зберігаються основні положення, отримані для лінійних систем: вплив коефіцієнтів передачі, порядку астатизму, компенсації зовнішніх збурень. В той же час необхідно врахувати наявність нелінійних статичних характеристик (рис.1.21): 1 – з гістерезисом, 2 – з зоною нечутливості.

Рис.1.21. Нелінійні статичні характеристики

Наближеною оцінкою точності НЛС є відношення

(1.36)

яке характеризує статизм системи, причому це відношення змінне.

Рис.1.22. Вплив зворотніх зв’язків на характеристики НЛС

Застосовуючи різні зворотні зв’язки, можна змінювати властивості системи. На рис.1.22,а показана схема із зустрічно-паралельним з’єднанням елементів, причому зворотній зв’язок може бути як додатнім, так і від’ємним. На рис.1.22,б показані статичні характеристики: 1 – ланки 1: х=f ; 2 – ланки 2: х_зз=f₂(x). З урахуванням залежностей:

(1.37)

(1.38)

будуються характеристики системи: 3 – при від’ємному зворотньому зв’язку, 4 – при додатному. В результаті отримують висновки: від’ємний зворотній зв’язок зменшує крутизну результуючої характеристики, а додатній – збільшує. Це ж стосується нелінійностей.

Для оцінки точності статичного режиму НЛС використовується такий метод: для замкненої системи “об’єкт-пристрій управління” (рис.1.23,а) будують статичні характеристики X=f₁(U) при різних

Рис.1.23. Оцінка статичного режиму НЛС

значеннях збурення Z_i (рис.1.23,б). На ці характеристики наносять статичні характеристики пристрою управління U=f₂(X). Точки перетину дають можливість побудувати результуючу характеристику Х=f₃(Z), за якою можна визначити оцінку при . Криві 2 та 2’ характеризують відсутність керування. При збільшенні коефіцієнта передачі ПУ та введені інтегруючої ланки система стає астатичною (криві 3; 3’). Криві 1,1’ характеризують проміжний режим роботи системи. Можна побудувати також статичні характеристики системи відносно . В результаті отримують оцінки впливу нелінійностей та нестабільності окремих ланок на властивості системи, що дає можливість взаємно узгодити характеристики окремих частин системи.

Для оцінки точності НЛС при дії випадкових сигналів передбачається, що зовнішній сигнал є стаціонарним:

(1.39)

і високочастотна складова характеризується відомою оцінкою спектральної щільності . Під впливом цього збурення виникає випадковий сигнал похибки:

(1.40)

Застосовуючи метод статистичної лінеаризації, отримують оцінки:

(1.41)

(1.42)

Постійну складову сигналу похибки визначають, застосовуючи теорему про кінцеве значення оригіналу в перетворенні Лапласа

(1.43)

Випадкову складову сигналу похибки характеризує оцінка дисперсії:

(1.44)

В праву частину рівнянь (1.43), (1.44) входять коефіцієнти статистичної лінеаризації k₀ і k₁, які в свою чергу залежать від оцінок m_g і :

(1.45)

(1.46)

Останні чотири рівняння (1.43) – (1.46) розв’язують спільно, наприклад, методом послідовних наближень. Якщо в системі виникають автоколивання, то необхідно використовувати спільно методи статистичної і гармонійної лінеаризації.

Якість перехідних процесів НЛС оцінюється такими ж показниками, як і для лінійних систем (динамічна та статична похибка, тривалість перехідного процесу, коливальність і інш.), але при цьому необхідно насамперед враховувати величину зовнішнього сигналу. Найбільш ефективним методом дослідження якості НЛС є використання комп’ютерних технологій.

[1, с.3-30, 2, c.311-359]

Контрольні запитання.

1. Які системи називають нелінійними і які їх особливості?

2. Що таке типові нелінійності і за якими ознаками їх класифікують?

3. В чому полягають особливості проходження гармонійного сигналу через нелінійну систему?

4. В яких координатах будуються фазові траекторії нелінійних систем?

5. Які особливості точки фазових траекторій і існують в нелінійних системах?

6. Наведіть приклад відповідності перехідних процесів і фазових траекторій.

7. Які особливості мають фазові траекторії нелінійних систем?

8. За яких умов в нелінійних системах можуть виникати і підтримуватись автоколивання?

9. Наведіть приклад проходження випадкового сигналу через нелінійну систему.

10. На яких залежностях будується метод статистичної лінеарізації?

11. Як визначаються коефіцієнти статистичної лінеарізації?

12. Охарактеризуйте процедуру гармонійної лінеарізації.

13. Поясніть принцип та ефект вібраційної лінеарізації.

14. Сформулюйте загальну постановку проблеми дослідження стійкості ща Ляпуновим О.М.

15. В чому полягає зміст першого та другого методів Ляпунова О.М.дослідження стійкості нелінійних систем?

16. Як формулюється критерій абсолютної стійкості?

17. Як досліджуються автоколивання в нелінійних системах?

18. Як оцінюється точність нелінійної системи в статичному режимі при детермінованих чи випадкових ділянках?