8 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 8

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Определить координаты новой системы {f} по старому базису {e}

Стандартный базис пространства R³:

e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1). Координаты системы {f} по старому базису {e} совпадают с компонентами векторов {f}.

f₁ = e₁ + 2e₂

f₂ = e₁ + 3e₂

f₃ = e₁ + e₃

2

Записать матрицу перехода С от старого базиса {e} к новому базису {f}

Столбцами матрицы С служат координаты векторов нового базиса {f} по старому {e}

3

Выписать зависимость «старых» координат вектора x от «новых» координат в базисе {f}.

x_e = Cx_f

Пусть координаты вектора x в базисе {f} будут x_f = (y₁, y₂, y₃), тогда

4

Найти обратную матрицу C^–1

Найдем матрицу C^–1 с помощью алгебраических дополнений.

A₁₁ = 3; A₂₁ = – 1; A₃₁ = – 3; A₁₂ = – 2; A₂₂ = 1; A₃₂ = 2; A₁₃ = 0;

A₂₃ = 0; A₃₃ = 1.

5

Вычислить координаты вектора x в новом базисе {f}: x_f = C^–1x_e

Замечание. Поставленную задачу решим не вычисляя C^–1. Для этого разложим вектор x по новому базису: {f}: x = y₁f₁ + y₂f₂₊ + y₃f₃. Выразим левую и правую части равенства через векторы e₁, e₂,…,e₃:

e₁ +e ₂ + e₃ = y₁(e₁ + 2e₂) + y₂(e₁ + 3e₂) + y₃(e₁ + e₃),

(1 – y₁ – y₂ – y₃)e₁ + (1 – 2y₁ – 3y₂)e₂ + (1 – y₃)e₃ = 0.

Так как, e₁, e₂, e₃ линейно независимы то полученная линейная комбинация тривиальная:

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Определить координаты нового базиса {f} по старому базису {e}

Стандартный базис пространства:

e₁ = 1, e₂ = x, e₃ = x², e₄ = x³.

f₁ = 1 = e₁ = (1, 0, 0, 0)

f₂ = x = e₂ = (0, 1, 0, 0)

f₃ = = e₁ + e₃ = ( , 0, 1, 0)

f₄ = = e₂ + e₄ = (0, , 0, 1)

2

Записать матрицу перехода С от старого базиса {e} к новому базису {f}

3

Выписать зависимость «старых» координат вектора P(x) от «новых» координат в базисе {f}

Пусть координаты многочлена P(x) по полиномам Лежандра будут

y₁, y₂, y₃, y₄; в стандартном базисе многочлен P(x) имеет координаты:

P(x) = x + x² = e₂ + e₃ = (0, 1, 1, 0), тогда

4

Найти обратную матрицу C^–1

C^–1 будем искать методом Гаусса

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

4

Итак,

5

Вычислить координаты вектора P(x) в новом базисе {f}

P_f = C^–1P_e

x + x² = f₁ + 1f₂ + 1f₃ =  1 + 1x + 1(x² )