3. Теорема Пифагора и ее обобщение.

Пусть х и у ортогональные векторы, тогда естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами х и у. Покажем, что , т.е. что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Действительно, по определению . Используя аксиомы 2, 1 и ортогональность х и у, получаем

,

что требовалось доказать.

Вообще, если взаимно ортогональны и , то . Если же х и у произвольные векторы, то по аналогии с элементарной геометрией – третья сторона треугольника, построенного на х и у. Используя неравенство Коши-Буняковского, получаем

,

,

т.е. длина любой стороны треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон и не меньше, чем модуль разности длин этих сторон.

.

Расстоянием между двумя точками х и у евклидова пространства называется длина вектора :

.

Ортогональный базис. В произвольном линейном пространстве не было оснований предпочитать одни базисы другим, там все базисы были равноправны. В евклидовом пространстве существуют более удобные базисы – ортогональные; они играют здесь ту же роль, что и прямоугольные системы координат в аналитической геометрии.

Мы докажем теперь теорему о существовании в произвольном евклидовом пространстве базиса из взаимноортогональных векторов. Более того, нас будет интересовать ортогональный нормированный базис, т.е. такой базис , в котором векторы попарно ортогональны и имеют каждый единичную длину

. (*)

Докажем лемму.

Лемма 1. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы, т.е. что равенство

(**)

возможно лишь при .

Действительно, умножим обе части равенства (**) скалярно на . Получим:

.

Но по условию , , при . Следовательно . Аналогично, умножая (**) скалярно на , получим .

Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортогональный нормированный базис.

Мы уже подробно рассматривали как строить ортогональную систему векторов в пространстве (процесс ортогонализации). Покажем для примера, как получить ортогональную систему функций в пространстве полиномов степени в .

Пусть . Будем искать . Из условия ортогональности и получаем . Потребуем, чтобы сумма коэффициентов многочлена равнялась единице (что равносильно равенству единице значения многочлена при t=1).

, , , .

Пусть теперь . Тогда

, и .

Отсюда получим , , , и .

Получили ортогональную систему полиномов:

, , .

Действуя аналогично, можем получить ортогональную систему многочленов степени при любом конечном n на отрезке .

Такую систему многочленов называют полиномами Лежандра. Полиномы Лежандра обладают многими замечательными свойствами и находят широкое применение в приложениях.

В евклидовом пространстве рассматривается задача о проекции произвольного вектора на некоторое подпространство W V и доказывается теорема о том, что каждый вектор может быть разложен в прямую сумму двух векторов, один из которых есть вектор подпространства W, а другой принадлежит ортогональному дополнению W. Подробнее об этой задаче можно прочесть в Приложении.