28. Условные законы распределения:

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения. Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

f(x| y)=f(x,y)/f₂(y)=f(x,y)/_-∞∫^∞f(x,y)dx

f(y| x)=f(x,y)/f₁(x)= f(x,y)/_-∞∫^∞f(x,y)dy

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Условное математическое ожидание двумерной дискретной случайной величины:

Условным математическим ожиданием дискретной величины Y при Х=х (х-определенное возможное значение Х) называют произведение возможных значений Y на их условные вероятности: M(Y | X=x) = _j=1∑^my_jp(y_j | x).

28. Функции регрессии:

Условное математическое ожидание M(Y | х) есть функция от х: M(Y | X =х)=M(Y | х)=f(x), которую называют функцией регрессии Y на Х.

Аналогично определяется функция регрессии Х на Y: M(Х | Y =y)=M(X | y)=f(y).

Ковариация и коэффициент корреляции дискретной двумерной случайной величины:

Если есть (Х,Y), распределение которых известно, тогда можно найти МХ=а_х, МY=a_y, D(X), D(Y). Но Х и Y недостаточно полно характеризует двумерную случайную величину, т. к. не отражают степени зависимости ее составляющих. Эту роль выполняют ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариация (корреляционный момент) К_ху с. в. Х и Y – математическое ожидание M[(X-M(X))*(Y-M(Y))].

Для дискретных с. в. K_xy=_i=1∑^m _j=1∑ⁿ (x_i-a_x)(y_j-a_y)p_ij. Следовательно K_xy =K_xy

Ковариация двух одномерных с.в. характеризует степень зависимости этих с.в. и их рассеивание вокруг точки (а_х, а_у).

Свойства ковариации:

1. ковариация двух независимых с. в. = 0

2. K_xy=M(XY)-M(X)*M(Y)

3. K_xy≤G_xG_y

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т.к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин. Для того чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции двух с.в. называется ρ_xy= K_xy/ G_xG_y

Свойства коэффициента корреляции:

1. -1≤ρ≤1

2. если с.в. независимы, то ρ=0

Из независимости с.в. следует их некоррелируемость.

Из некоррелируемости не следует их независимость.

3. если |ρ|=1, то между ними существует линейная функциональная зависимость.

28. Плотность распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины.

Плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей.

Плотность распределения составляющей Х: f₁(x)=_-∞∫^∞f(x, y)dy

Плотность распределения составляющей Y: f₂(x)=_-∞∫^∞f(x, y)dx

Функции распределения составляющих двумерной дискретной случайной величины ???????