4. Математическая логика

Система аксиом ограничивает область применения теории, но не дает указаний по ее построению. Это задача – математической (символической) логики – раздела математики, изучающего математические доказательства и вопросы оснований математики. Идея построения универсального языка математики и формализации на его базе математических доказательств выдвигалась в 17 в. Лейбницем. Но только в середине 19 в. появились работы по алгебраизации аристотелевой логики (Буль, 1847; де Морган, 1858). После того как Фреге (1879) и Пирс (1885) ввели в язык алгебры логики предикаты (логическое сказуемое), предметные переменные и кванторы (логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов), возникла возможность применить этот язык к обоснованию математики.

Расселом и Уайтхедом в работе «Принципы математики» (1910) была предпринята попытка сведения всей математики к логике, которая не увенчалась успехом, т. к. оказалось невозможным вывести из чисто логических аксиом существование бесконечных множеств.

На рубеже 19 - 20 вв. были обнаружены антиномии (парадоксы), связанные с основными понятиями теории множеств. Стало ясно, что нужно как-то ограничить канторовскую теорию множеств. Брауэр (1908) выступил против применения правил классической логики к бесконечным множествам.

Гильберт предложил путь преодоления трудностей, основанный на применении аксиоматического метода рассмотрения формальных моделей математики и на исследовании непротиворечивости таких моделей финитными средствами. Он предпринимает пересмотр евклидовой геометрии, освобождая её от обращения к интуиции. Результатом такой переработки явились его «Основания геометрии» (1899).

Однако доказанная в 1931 году Гёделем теорема о неполноте поколебала оптимизм Гильберта, указала на существенную ограниченность формальной логики.

Было разработано понятие общерекурсивной функции и выявлено, что она является уточнением интуитивного понятия алгоритма. По существу вся математика связывалась с теми или иными алгоритмами. Но следствием разработки точного понятия алгоритма стало обнаружение существования неразрешимых алгоритмических проблем в математике.

Несмотря на незавершенность, математическая логика имеет большое прикладное значение; она глубоко проникает в информатику, вычислительную математику, в структурную лингвистику.

Современный стандарт логической строгости основан на теоретико-множественной концепции (любая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собою некоторыми соотношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих природы самих объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющими системе аксиом).

Аксиоматический метод – метод построения теории, при котором в основу кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Следовательно, теория, применимая к какой-либо системе объектов, автоматически применима к любой «изоморфной» ей системе.