Фрактальная геометрия динамических систем.
До недавнего времени математики концентрировали свое внимание на множествах, описываемых гладкими (дифференцируемыми) функциями. Функции, которые не являются достаточно гладкими или регулярными, обычно игнорировались как «патологические» и не заслуживающие серьезного внимания и изучения.
В современной математике отношение к негладким функциям (или нерегулярным множествам) существенно изменилось, ибо, как показала практика, нерегулярные функции (множества) обеспечивают значительно лучшее описание реальных явлений и процессов, чем те, которые использует классическая математика.
В результате изучения таких нерегулярных множеств появилась фрактальная геометрия.
Основной объект фрактальной геометрии – фракталы. В последнее время, в эпоху компьютерного вычислительного эксперимента, позволившего визуализировать геометрию математических структур, фракталы стали популярными объектами изучения. Катализатором этого процесса стала книга математика Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы»
Термин фрактал предложен Мандельбротом. Он образован от латинского слова fractus. Соответствующий ему глагол frangere переводится на русский язык как ломать, разламывать, то есть образовывать фрагменты, в том числе неправильной формы. Английское слово fraction переводится как частица, крупица, обломок, осколок, излом, разрыв, дробь, а fractional – как дробный.
До настоящего времени нет однозначного определения этого термина. Фракталом называют структуры, состоящие из частей, которые в некотором смысле подобны целому. Неопределенность, содержащаяся в словах «в некотором смысле», делает понятие фрактала чуть ли не всеобъемлющим. Иногда фрактал определяют как множество, имеющее самоподобную структуру.
Фрактал – геометрическая фигура, в которой один и тот же элемент при каждом уменьшении размеров повторяется (получаются в результате комбинации линейных преобразований - рекурсивной процедуры), называется конструктивным (регулярным или классическим) фракталом.
Наряду с регулярными фракталами существуют нерегулярные фракталы, которые обладают масштабной инвариантностью лишь приближенно. Такого рода фракталы (множества) называют динамическими.
Построение фрактала начинается с выбора инициатора – единичного участка, на которые разбивается объект (например, для линии – отрезок единичной длины). Затем выделяется элементарная деталь, которая повторяется в структуре объекта – генератор (например, состоящая из четырех единичных отрезков ломаная линия). Затем каждый единичный участок объекта заменяется уменьшенным до соответствующего масштаба генератором, а новые единичные отрезки, из которых состоит генератор, также заменяются генератором, уменьшенным до соответствующего размера. Этот каскадный процесс повторяется многократно (бесконечно)
Кривая (фрактал) Коха – простейшая непрерывная недифференцируемая кривая, получаемая из прямого отрезка единичный длины путем удаления его средней трети и замены удаленного участка двумя отрезками длиной 1/3 с применением этой процедуры в последующем к каждому участку получаемой ломаной кривой:
Рис. 13.3. Кривая (фрактал) Коха
Уже простейшая квадратичная модель
(логистическое отображение) демонстрирует
ряд универсальных закономерностей,
включая фрактальные свойства. При 0 <
r < 1 отображение
имеет одну неподвижную устойчивую
точку, теряющую устойчивость при r
= 1, а при 1 < r < 4 -
две неподвижные устойчивые точки. Если
r > 3, то процесс
начинает осциллировать между двумя
уровнями с постепенным удвоением периода
колебаний (предельный цикл). При r
= 3,57 процесс становится хаотическим.
Внутри хаотической области существует
множество «окон» с устойчивыми
периодическими точками. Структура
каскада бифуркаций за точкой хаоса r
= 3,57 соответствует структуре каскада
бифуркаций, предшествующего ей. При r
= 4 реализуется полный хаос.
Очевидно, что удвоение периода аналогично образованию фрактала, основанного на двоичной системе. Бифуркационная диаграмма (зависимость х от r) явно демонстрирует эффект самоподобия (фрактальности).
Рис. 13.4. Бифуркационная диаграмма – графическое решение логистического уравнения