Описание динамических систем геометризированной теорией множеств.
В математике в общем случае объект или
процесс описывается системой n
интегро-дифференциальных уравнений,
определенной в пространстве RN
с координатами
:
(1)
Переменные xl
и t рассматриваются
как пространственные и временные
координаты. Решения
,
описывающие состояния системы, называются
переменными состояния;
–
управляющими параметрами.
Решение системы уравнений (1) является
сложной задачей. Поэтому ее упрощают,
ограничиваясь, во-первых, системой
уравнений в частных производных, не
содержащих пространственных производных,
во-вторых, предполагая, что она не зависит
от пространственных координат, и,
наконец, считая, что она содержит
производные по времени не выше первого
порядка, которые входят в упрощенную
функцию специальным («каноническим»)
образом:
.
Систему уравнений
(2) называют динамической системой.
Если функции в уравнениях (2) не зависят от времени, то такая система называется автономной динамической системой:
В случае консервативных систем возможно значительное упрощение системы уравнений (1):
,
(3)
Эту систему называют градиентной (потенциальной) динамической системой.
Наибольший интерес представляет изучение состояний равновесия градиентных систем:
,
(4)
Именно такого рода динамические системы в основном изучаются в настоящее время.
Потенциальные системы многих частиц (частицы движутся несвободно) – «вязкие» системы, в которых пропорциональна приложенной силе скорость движения частицы (системы Аристотеля), а не ее ускорение (системы Ньютона). Это нелинейные системы.
Нелинейные системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые имеют несколько решений (корней, радикалов) и, соответственно, все нелинейные системы имеют несколько стационарных (установившихся) состояний, а протекающие в них процессы являются ветвящимися.
В нелинейных системах наблюдаются качественные, включая скачкообразные, изменения свойств при плавном изменении величины воздействующих на них факторов.
Наибольших успехов в изучении нелинейных динамических систем достигла геометризированная теория множеств - топологическая теория бифуркаций критических точек потенциальных функций (теория катастроф).
Топология – раздел математики, изучающий наиболее общие свойства пространств (фигур), сохраняющихся (инвариантных) при непрерывных преобразованиях (без разрывов и склеивания). Это наиболее общая геометрия.
Топологическое пространство – имеющее структуру множество элементов произвольной природы, называемых точками (структурированное множество).
Фазовое пространство – пространство, элементами которого являются фазовые точки – совокупности, значений параметров, определяющих состояние системы.
Топологическая динамическая система – непрерывная динамическая система.
Для систем с одной переменной состояния x функции катастроф (первые члены разложенной в ряд потенциальной функции, которые определяют качественное поведение системы) при уменьшении потенциальной энергии, записываются в виде:
(катастрофа вигвам),
(катастрофа бабочка),
(катастрофа ласточкин хвост),
(катастрофа сборка),
(катастрофа складка),
где высший член называется ростком
катастрофы, а сумма остальных членов –
возмущением (
–
управляющие коэффициенты).
Потенциальная функция Критические точки
Рис. 13.1. Катастрофа «складка»
Потенциальная функция 
Критические точки и их проекция
Рис. 13.2. Катастрофа «сборка»