2. Структурные средние

В качестве структурных средних чаще всего используются показатели моды и медианы. Мода (Мо) – наиболее часто повторяющееся значение признака. Медиана (Ме) – величина признака, коотрая делит упорядоченный ряд на две равные по численности части.

Если расчет моды и медианы проводится в дискретном ряду, то он опирается на их понятие. В интервальном ряду распределения для расчета моды и медианы применяются следующие формулы.

Мода рассчитывается по формуле:

Мо = Хмо + Iмо ⋅(fMo – fMo -1 ) / ((fMo – fMo -1 ) + (fMo – fMo +1 ))

Где Хмо – нижнее значение модального интервала;

Iмо – размер модального интервала;

fMo – частота модального интервала;

fMo -1 - частота , предшествующая модальной частоте;

fMo +1 - частота, последующая за модальной частотой.

Модальному интервалу соответствует наибольшая (модальная) частота. Медиана рассчитывается по формуле:

Ме = Хме + IMe ⋅ (∑f / 2 – SMe-1) / fMe

Где Хме –нижнее значение медианного интервала;

IMe - размер медианного интервала; ∑f – сумма частот;

SMe-1 - сумма частот, предшествующих медианной частоте; fMe - медианная частота.

Медианному интервалу соответствует медианная частота. Таким интервалом будет интервал, сумма накопленных частот которого равна или превышает половину суммы всех частот.

Тема 6. Показатели вариации

1. Система показателей вариации

2. Внутригрупповая и межгрупповая вариации

1. Система показателей вариации

Средние величины дают обобщенную характеристику варьирующего признака, но в них не отражаются степень колеблемости отдельных значений признака вокруг среднего уровня. Для измерения колеблемости изучаемого признака в статистике применяются различные показатели.

1. Размах вариации (R) определяется по формуле

R = Xmax – Xmin

Где Xmin – минимальное значение признака;

Xmax - максимальное значение признака.

Этот показатель дает общее, внешнее представление о колеблемости признака, но не характеризует степень его колебаний.

2. Среднее линейное отклонение (l) исчисляется по следующим формулам:

• по несгруппированным данным l = ∑|x - x| / n

• по сгруппированным данным l = ∑|x - x| ⋅f / ∑f

Этот показатель представляет собой среднюю величину из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической . Как меру вариации признака этот показатель в статистике применяют редко.

3. Дисперсия признака (σ²) рассчитывается следующим образом:

• по несгруппированным данным: ² = ² / n

• по сгруппированным данным: ² = (х – )² f / f

Дисперсия является средней арифметической квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней, это относительная мера вариации.

4. Среднее квадратическое отклонение ( = корень из ²) – это абсолютная мера вариации, выражается в единицах измерения изучаемого признака и определяется по следующим формулам:

• по несгруппированным данным:  = корень из ((х - )² f /f)

• по сгруппированным данным:  = корень из ((х - )² f / f)

5. Коэффициент вариации (V) применяется для сравнения степени вариации различных признаков, выражается в процентах и определяется следующим образом:

V =  / 100

Если V , то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

Дисперсия (²) имеет ряд математических свойств, которые упрощают технику ее расчета. В математической статистике доказано, что она равна разности между средней из квадратов значений признака и квадратом их средней:

² = ^{2 2 2}