3. Средние показатели ряда динамики

Для получения обобщающей характеристики динамики социально-экономических явлений используют следующие средние величины: средний уровень, средний абсолютный прирост, средний темп или коэффициент роста и прироста (снижения).

Средний уровень ряда динамики характеризует типичную величину абсолютных уровней. Исчисляется средний уровень ряда по-разному для моментных и интервальных рядов динамики.

Для интервального ряда динамики абсолютных показателей средний уровень за период определяется по формуле средней арифметической простой

,

где у - уровни ряда;

n - число уровней ряда.

Для моментного динамического ряда средний уровень определяется иначе.

Когда промежутки времени между датами одинаковы, средний уровень рассчитывается по формуле средней хронологической

у =(у₁/2 +у₂+у_з+ ... + У_п-1 + у_п/2) /п-1,

где у₁, у₂, ..., у_п - уровни ряда в последовательные моменты времени; п - число дат (уровней).

Когда промежутки времени между датами не равны, средний уровень ряда вычисляется по средней арифметической взвешенной.

В качестве весов принимается продолжительность промежутков времени между моментами, в которые происходит изменение уровней:

,

где t— количество дней (месяцев) между смежными датами.

Средний абсолютный прирост (снижение) рассчитывается по средней арифметической простой из цепных абсолютных приростов за последовательные и равные по продолжительности периоды:

где n - число цепных абсолютных приростов (снижений) уровней.

При преобразовании предыдущей формулы можно выйти на следующую:

(y_n –y₀) / n-1

где у_п и у₀ - соответственно конечный и базисный уровни динамического ряда;

п - число уровней ряда.

Так, средний абсолютный прирост (снижение) продажи мяса и мясопродуктов по данным табл. 27 равен:

= ((-48) + (-244) + (-87) + 37 + 3) / 5 = -56,5 тыс. т;

∆у = (y_n –y₀) / n-1=(483- 822) / 6 - 1 = -56,5 тыс.т.

Средний темп роста (Т_р) представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах:

_Р = _Р -100

Средний темп прироста (Т_пр) вычисляется по следующей формуле:

_пр = _Р-100

4. Методы выявления общей тенденции развития

Одной из задач, решаемых с помощью рядов динамики, является выявление закономерностей изменения явления, определение общей тенденции его развития (тренда). Это может быть тенденция к росту, стабильности или снижению. Общая тенденция не всегда четко прослеживается в исходном динамическом ряду с первичными данными, особенно в тех случаях, когда уровни ряда сильно колеблются, то повышаясь, то понижаясь. Поэтому ряд динамики обрабатывают таким образом, чтобы сгладить колеблемость его уровней.

Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике также выравниванием временного ряда, а методы выявления основной тенденции -методами выравнивания.

Методы, применяемые для выявления основной тенденции развития, можно разделить на две группы:

- методы «механического сглаживания»;

- методы «аналитического выравнивания». К первой группе относят простые приемы укрупнения временных интервалов и расчета скользящей средней.

Ко второй - более сложные методы, основанные на геометрическом представлении динамических данных и использовании надежных теоретических моделей тренда.

Самым простым приемом является укрупнение интервалов времени, к которым относятся уровни динамического ряда (суточные в декадные или месячные; месячные - в квартальные или годовые: квартальные - в годовые и т. д.), и исчисление по ним средних уровней. Новый динамический ряд. состоящий из средних уровней, даст возможность проследить общую тенденцию развития.

Другим приемом выявления общей тенденции развития является сглаживание с помощью скользящей средней. Для определения скользящей средней формируются интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получают, постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Тогда первый интервал будет включать уровни y₁, у₂, ..., у_m, второй - уровни у₂, у_з, … , y_т+1 и т. д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице

По сформированным укрепленным интервалам определяют сумму значений уровней, на основе которых рассчитывают скользящие средние. Полученные средние относятся к серединам соответствующих укрупненных интервалов. Поэтому при сглаживании скользящей средней технически удобнее интервалы составлять из нечетного числа уровней ряда. Если скользящую среднюю находят по четному числу уровней, то необходимо производить центрирование средних, так как середина интервала скольжения приходится между двумя уровнями, находящимися в центре интервала. Центрирование означает расчет средней из двух соседних скользящих средних.

Сглаженные средние уровни указывают на довольно отчетливую тенденцию роста товарооборота.

Более совершенным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание (определение тренда). Этот способ состоит в нахождении такой прямой или кривой, ор­динаты точек которой были бы максимально близкими к фактическим уровням динамического ряда. Форма выравнивания должна устанавливаться на основе теоретического анализа сущности данного явления и закономерностей его развития.

Если теоретический анализ подсказывает, что данное явление разминается с относительно стабильными абсолютными приростами (∆у), то для выравнивания подходит прямая.

Уравнение тренда прямой можно представить следующим образом:

у₁ = а + bt.

Параметры аналитического уровня находят, используя способ наименьших квадратов. Суть этого способа заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней (у) от выравненных (у_t) была бы минимальной.

Параметры а и Ь, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путем решения следующей системы нормальных уравнений:

где у- фактические уровни ряда;

п - число уровней ряда;

t - порядковый номер периодов или моментов времени.

В найденном уравнении тренда параметр а представляет собой среднее значение уровня динамического ряда, а параметр b - ежегодный абсолютный прирост выравненного уровня, обусловленный изменением фактора времени.

Подставляя в это уравнение соответствующие значения t, находят выравненные (теоретические) уровни (у_i). Правильность расчета выравненных уровней ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма эмпирических (фактических) уровней ряда должна совпадать с суммой выравненных уровней динамического ряда:

Аналитические и средние показатели, характеризующие ряды динамики, параметры уравнений тренда широко используются для интерполяции и экстраполяции динамических рядов.

Интерполяцией называется нахождение недостающих промежуточных уравнений ряда динамики.

Экстраполяцией называется определение неизвестных уравнений динамического ряда, лежащих за его пределами.

Экстраполяция в рядах динамики носит приближенный характер и является только вспомогательным инструментом при прогнозировании социально-экономических явлений.