1:4 Основні закони алгебри-логіки (без доведення).
Закони алгебри логіки ґрунтуються на системі аксіом, яка підтверджує
ідею про те, що логічна змінна величина може відображати умову роботи або
стан релейного елемента чи схеми.
Подамо тепер (без доведення) основні закони алгебри логіки, які
називаються також системою рівносильних перетворень.
1. Закон нульової множини
тобто кон’юнкція будь-якої кількості змінних перетворюється у нуль, якщо
хоч би одна змінна дорівнює нулю.
2. Закон універсальної множини
1 + а + b + с + ... + w = 1, (1.1)
тобто диз’юнкція будь-якої кількості змінних перетворюється в одиницю,
якщо хоч одна змінна дорівнює одиниці.
3. Комутативні (переставні) закони:
аbс ... = bас ... = сbа ...;
а + b + с ... = b + а + с ... = с + b + а ..., (1.2)
тобто результати виконання операцій кон’юнкції та диз’юнкції не залежать
від порядку розташування змінних.
4. Асоціативні (сполучні) закони:
а(bс) = (аb)с = аbс;
а + (b + с) = (а + b) + с = а + b + с,
тобто, записуючи кон’юнкцію та диз’юнкцію, дужки можна не ставити.
5. Дистрибутивні (розподільні) закони:
а(b+с) = аb+ас; (1.3)
а+bс = (а+b)(а+с). (1.4)
6. Закони повторення (тавтології, ідемпотентності):
ааа...а = а; (1.5)
а + а + а + ... + а = а . (1.6)
7. Закон подвійної інверсії
(1.7)
тобто подвійну інверсію можна вилучити або додати.
8. Закони додатковості:
а) логічна суперечність
б) закон виключеного третього
(1.8)
9. Закони поглинання:
а(а + b)(а + с) ... (а + w) = а;
а + аb + ас + ... + аw = а. (1.9)
10. Закони склеювання:
(1.10)
(1.11)
Ці закони дозволяють замінити два члени, що мають однакову загальну
частину а і аргумент b без інверсії в одному члені та з інверсією в другому,
одним членом а, тобто виконати склеювання двох членів.
11. Закони узагальненого склеювання:
(1.12)
(1.13)
12. Закони де Моргана:
(1.14)
тобто інверсія диз’юнкції дорівнює кон’юнкції інверсій, а інверсія кон’юнкції
дорівнює диз’юнкції інверсій.
1:5 Диз’юнктивна нормальна форма та довершена диз’юнктивна нормальна форма. Їх властивості.
Елементарна кон’юнкція (диз’юнкція) – кон’юнкція (диз’юнкція)
кількох аргументів, кожний з яких може одноразово входити до неї зі знаком
інверсії
або без нього. Наприклад,
—
елементарні
кон’юнкції
—
елементарні диз’юнкції.
Диз’юнкція кількох елементарних кон’юнкцій називається диз’юнктив-
ною нормальною формою (ДНФ).
Аналогічно, кон’юнкція кількох елементарних диз’юнкцій називається
кон’юнктивною
нормальною формою (КНФ).
Наприклад,
–
ДНФ,
–
КНФ.
Кількість аргументів в елементарній кон’юнкції (диз’юнкції)
називається її довжиною і визначає її ранг. Наприклад, abc – кон’юнкція
третього
рангу,
–
диз’юнкція четвертого рангу.
Якщо кожний член диз’юнктивної нормальної форми від n аргументів
містить усі n аргументів, то форма функції називається довершеною (ДДНФ).
Отже, ДДНФ – це диз’юнкція конституент одиниці. Оскільки конституента одиниці повністю визначається єдиним набором аргументів, що перетворює її в одиницю, то кожний кон’юнктивний член ДДНФ перетворюється в одиницю за деякого єдиного набору аргументів, а загальна кількістькон’юнктивних членів у ДДНФ дорівнює кількості наборів, що перетворюють функцію в одиницю.
Будь-яку функцію, що задана у ДНФ, можна подати у ДДНФ. Цю
операцію називають розгортанням і виконують її так:
-у кожну елементарну кон’юнкцію уводять змінні, яких не вистачає,
через
множення на одиницю у вигляді
,
де а
–
відсутня змінна;
-розкривають дужки та вилучають однакові кон’юнкції, застосовуючи
закон повторення (1.6).
Наприклад,
Саме в ДДНФ потрібно подавати функцію, якщо її передбачається
реалізувати на програмованому постійному запам’ятовувальному пристрої.
Довершена диз’юнктивна нормальна форма має такі властивості:
1) якщо для будь-якого набору аргументів функція дорівнює одиниці,
то тільки один з членів ДДНФ набуває одиничного значення;
2) якщо функція для даного набору аргументів дорівнює нулеві, то жоден з членів ДДНФ не дорівнює одиниці.