- •Кафедра автоматизации и систем управления
- •Введение.
- •Лабораторная работа № 1. Основы работы с системой MathCad.
- •Ввод формул
- •Лабораторная работа № 2. График функции.
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 3. Расширенные скалярные операторы
- •Варианты
- •Задание 2
- •Рассмотрим некоторые способы создания массивов:
- •В любом месте документа допускается как переопределение любого из элементов массива, так и изменение его размерности
- •2. С использованием встроенной функции :
- •Функции, возвращающие специальные характеристики матриц
- •Задание 1
- •Порядок выполнения задания
- •Лабораторная работа № 6. График поверхности
- •Порядок выполнения задания
- •Лабораторная работа № 7 решение нелинейных уравнений
- •Задание 1.
- •Порядок выполнения задания
- •Варианты
- •Порядок выполнения задания
- •Решение нелинейного уравнения
- •Поиск корней с помощью функции root:
- •Лабораторная работа № 8. Аппроксимация функций
- •Линейная интерполяция
- •Сплайн-интерполяция
- •Линейная регрессия
- •Задание 1.
- •Порядок выполнения задания
- •Варианты
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 9. Решение дифференциальных уравнений
- •Задание 1.
- •Порядок выполнение задания
- •Варианты:
- •Варианты
- •1. Решение дифференциальных уравнений.
- •2. Дифференциальное уравнение второго порядка
- •Лабораторная работа № 10 Разложение в ряд
- •Внимание
- •Разложение выражения в ряд с разным порядком аппроксимации
- •Разложение выражения в ряд по разным переменным
- •Интегральные преобразования
- •Примечание
- •Прямое преобразование Фурье
- •Прямое и обратное преобразование Лапласа
- •Прямое и обратное z-преобразование
- •Лабораторная работа №11 поиск экстремума функции
- •Экстремум функции одной переменной
- •Условный экстремум
- •Три примера поиска условного экстремума
- •Экстремум функции многих переменных
- •Задание
- •Варианты
Сплайн-интерполяция
Если узлов достаточно много, то лучшие результаты дает сплайн-интерполяция. При ней исходная функция заменяется частями кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полинома рассчитываются так, чтобы непрерывными были первые и вторые производные. Линия, которую описывает сплайн-функция напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (splain - гибкая линейка)
Для осуществления сплайновой аппроксимации необходимо предварительно вычислить вектор вторых производных интерполяционной кривой в задаваемых точках. Для этой цели в MathCAD предусмотрена, функция
cspline (Vx, Vy),
ее аргументами являются векторы Vx и Vy, содержащие наборы значений х и у, через которые нужно провести кубический сплайн. Когда получен вектор вторых производных, например, оператором присваивания:
Vs = cspline (Vx, Vy),
можно найти интерполируемое значение в произвольной точке х с помощью функции
interp (Vs, Vx, Vy, х).
(см. пример 3).
Линейная регрессия
Широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности линейной зависимостью. Эта зависимость проводится таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений от прямой линии была бы минимальной (аппроксимация методом наименьших квадратов). Задача нахождения линейной зависимости
у(х) = а + b • х
носит название задачи линейной регрессии. Для ее решения в MathCAD требуется обращение к двум функциям:
intercept (Vx, Vy) — возвращает значение параметра а (смещение);
slope (Vx, Vy) - возвращает значение параметра b (наклон).
Параметрами обеих функций являются векторы значений абсцисс и ординат.
Задание 1.
По таблице значений проинтерполировать табличную функцию тремя способами, построить графики интерполирующих функций.
Порядок выполнения задания
1. Ввести таблицу значений в. виде двух столбцов Vx и Vy, первый из которых содержит значения аргументов, а второй — значения интерполируемой функции.
2. Определить число точек, в наборах данных с помощью функции length.
3. Определить линейную интерполяционную функцию Ylin(x) с помощью системной функции linterp.
4. Определить интерполирующую функцию f(x) в форме полинома Лагранжа.
5. Задать множество значений аргумента для построения графиков функций.
6. Построить на одном рисунке графики полученных функций.
7. Вывести два значения полученных функций: одно в узле, другое вне узлов.
8. Реализовать сплайн-интерполяцию с построением сплайн-функции и выводом значений в тех же точках.
Варианты
№ |
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
п/п |
xi |
1.20 |
1.50 |
1.75 |
2.15 |
2.55 |
2.75 |
3.00 |
1 |
yi |
-0.67 |
-0.065 |
0.177 |
0.606 |
1.154 |
1.221 |
2.308 |
2 |
yi |
-9.56 |
-9.33 |
-9.11 |
-9.02 |
-8.71 |
-8.63 |
-8.57 |
3 |
yi |
1.261 |
1.280 |
1.291 |
1.306 |
1.321 |
1.336 |
1.352 |
4 |
yi |
-0.860 |
-0.818 |
-0.779 |
-0.641 |
-0.504 |
-0.370 |
-0.137 |
5 |
yi |
33.11 |
34.81 |
36.59 |
38.47 |
40.44 |
37.52 |
34.70 |
6 |
yi |
8.65 |
8.29 |
7.95 |
7.64 |
7.36 |
7.09 |
6.84 |
7 |
yi |
0.991 |
0.951 |
0.913 |
0.876 |
0.807 |
0.775 |
0.744 |
8 |
yi |
4.162 |
4.255 |
4.353 |
4.455 |
4.561 |
4.673 |
4.795 |
9 |
yi |
4.48 |
5.47 |
6.68 |
8.16 |
9.97 |
12.18 |
10.61 |
10 |
yi |
0.173 |
0.198 |
0.199 |
0.257 |
0.201 |
0.259 |
0.198 |
11 |
yi |
20.19 |
19.61 |
18.94 |
18.17 |
17.30 |
16.31 |
15.19 |
12 |
yi |
8.67 |
8.29 |
7.96 |
7.65 |
7.36 |
7.08 |
6.85 |
13 |
yi |
5.04 |
5.18 |
5.32 |
5.47 |
5.63 |
5.81 |
5.98 |
14 |
yi |
8.65 |
8.29 |
7.95 |
7.64 |
7.36 |
7.09 |
6.84 |
15 |
yi |
6.62 |
6.40 |
6.19 |
6.00 |
5.82 |
5.65 |
5.49 |
Задание 2.
По заданной таблице значений найти регрессионные коэффициенты, построить график линейной регрессии и определить точку максимального отклонения.